问责申请书可以针对公安部门提出，但需根据具体情况和法定程序进行。以下从不同角度为你详细分析：

一、问责申请书的适用对象

问责申请书本质上是一种要求对特定主体（如行政机关、公职人员）的失职、违法行为进行责任追究的书面申请。公安部门作为行政机关，其工作人员在执行职务过程中若存在违法或不当行为，理论上是可以成为问责对象的。

二、针对公安部门的问责情形

1. 违法行使职权：如公安人员在执法过程中违反法定程序，滥用职权，导致公民、法人或其他组织的合法权益受到损害。
2. 不履行法定职责：如公安人员对应当受理的案件不予受理，或对应当采取的强制措施不采取，导致严重后果。
3. 其他失职行为：如公安人员在工作中疏忽大意，造成公共财产、国家和人民利益遭受重大损失。

三、问责申请书的提出程序

1. 确定问责对象：明确是针对公安部门的某个具体工作人员，还是整个部门或某个分支机构。
2. 收集证据：收集能够证明问责对象存在违法或不当行为的证据，如执法记录、证人证言、相关文件等。
3. 撰写问责申请书：详细陈述问责对象、问责事实、法律依据及问责请求。
4. 提交问责申请书：根据具体情况，可以选择向公安部门的上级机关、监察机关或相关政府部门提交问责申请书。

四、可能面临的挑战与建议

1. 证据收集难度：由于公安部门的执法活动具有一定的专业性和秘密性，证据收集可能面临一定困难。建议咨询专业律师，了解如何合法、有效地收集证据。
2. 问责程序复杂：问责程序可能涉及多个部门和环节，需要一定的时间和精力。建议保持耐心，并密切关注问责进展。
3. 法律风险：在提出问责申请时，需确保自己的行为合法合规，避免因不当行为而引发新的法律风险。建议在提出问责申请前，咨询专业律师，了解相关法律规定和程序。

五、法律后果

如果问责申请被受理并查实，问责对象可能会面临行政处分、刑事责任等法律后果。同时，问责申请人也可能因问责行为的合法性和正当性而获得相应的法律保护。

总结与建议：问责申请书可以针对公安部门提出，但需根据具体情况和法定程序进行。在提出问责申请前，建议咨询专业律师，了解相关法律规定和程序，以确保自己的行为合法合规。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。