当有限责任公司的法定代表人且是唯一股东去世后，其继任者的问题主要涉及公司股权的继承和法定代表人的变更两个方面，具体分析如下：
股权继承：
- 根据《中华人民共和国公司法》第七十五条：“自然人股东死亡后，其合法继承人可以继承股东资格；但是，公司章程另有规定的除外。” 这意味着，如果公司章程没有特别规定，唯一股东的合法继承人将继承其股东资格，成为公司的新股东。
- 如果公司章程有特别规定，比如禁止或限制股东资格的继承，那么就需要按照公司章程的规定来处理。这种情况下，可能需要通过股权转让等方式来处理原股东的股权。
法定代表人变更：
- 法定代表人是由公司章程规定并由公司登记机关登记的。在原法定代表人去世后，公司需要按照公司章程的规定，选举或指定新的法定代表人。
- 如果新股东（即原股东的合法继承人）希望成为公司的法定代表人，并且符合公司章程和法律法规的规定，那么可以通过修改公司章程并办理相关登记手续来实现。
- 如果新股东不希望或不适合成为法定代表人，公司可以选举其他符合条件的人员担任法定代表人。
具体操作流程：
- 确定继承人：首先，需要确定原股东的合法继承人，这通常涉及遗嘱继承或法定继承的程序。
- 修改公司章程（如需要）：如果公司章程有关于股东资格继承或法定代表人变更的特别规定，并且需要修改以适应新情况，那么需要按照公司章程规定的程序进行修改。
- 办理工商变更登记：在确定新股东和/或新法定代表人后，需要向公司登记机关办理相关的变更登记手续，包括股权变更登记和法定代表人变更登记。
注意事项：
- 在处理这类问题时，应确保所有操作都符合法律法规和公司章程的规定，以避免潜在的法律风险。
- 如果涉及复杂的继承问题或公司内部纠纷，建议寻求专业法律帮助，以确保问题的妥善解决。
举例说明：
假设某有限责任公司的唯一股东A去世，A有一个合法继承人B。如果公司章程没有特别规定股东资格的继承问题，那么B将继承A的股东资格，成为公司的新股东。随后，公司可以根据需要选举B或其他符合条件的人员作为新的法定代表人，并办理相关的工商变更登记手续。
总结与建议：
当有限责任公司的法定代表人且是唯一股东去世后，其继任者的问题需要综合考虑股权继承和法定代表人变更两个方面。在处理这类问题时，应首先确定合法继承人，然后根据公司章程和法律法规的规定进行相应的操作。如果遇到复杂情况或不确定如何处理，建议直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。