民事附带刑事案件的管辖部门主要取决于案件的性质和阶段，通常由公安机关、人民检察院和人民法院分别在不同阶段行使管辖权。以下是对此问题的详细分析：
侦查阶段：
- 在民事附带刑事案件的侦查阶段，主要由公安机关负责。公安机关是刑事案件的侦查机关，负责收集证据、查明犯罪事实、抓捕犯罪嫌疑人等。如果案件涉及民事赔偿部分，公安机关在侦查过程中也会关注相关证据的收集，以便后续在刑事诉讼中一并处理民事赔偿问题。
审查起诉阶段：
- 侦查终结后，案件会移送至人民检察院进行审查起诉。人民检察院是刑事案件的公诉机关，负责审查公安机关移送的案件材料，决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。在审查起诉阶段，人民检察院也会关注民事赔偿部分，如果认为需要提起附带民事诉讼，会在起诉书中一并提出。
审判阶段：
- 一旦案件进入审判阶段，就由人民法院负责管辖。人民法院是刑事案件的审判机关，负责审理案件并作出判决。在民事附带刑事案件中，人民法院会同时审理刑事部分和民事赔偿部分，并根据事实和法律作出相应的判决。如果刑事部分和民事赔偿部分存在关联，人民法院会综合考虑后作出判决，以确保判决的公正性和合理性。
特殊情况说明：
- 在某些特定情况下，如涉及国家安全、恐怖活动等案件，可能由专门的侦查机关（如国家安全机关）负责侦查，但后续的审查起诉和审判阶段仍然由人民检察院和人民法院负责。
- 如果民事赔偿部分与刑事部分相对独立，且受害人选择单独提起民事诉讼，那么该民事诉讼将由有管辖权的人民法院单独审理，与刑事案件分开进行。
法律建议：
- 对于涉及民事附带刑事案件的当事人，建议及时咨询专业律师，了解案件的具体情况和法律程序，以便更好地维护自己的合法权益。
- 在案件处理过程中，当事人应积极配合公安机关、人民检察院和人民法院的工作，提供必要的证据和信息，以便案件能够顺利处理。
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