结论：是否会追究孩子爸爸的责任，取决于多个因素，包括信息的性质、发送信息的行为是否构成违法或侵权、孩子爸爸是否存在过错等。以下从不同角度进行分析：
一、信息性质与行为定性
若信息不违法或侵权：
- 如果孩子在群里发送的信息并不涉及违法或侵权内容，比如只是普通的聊天、分享等，那么通常不会追究孩子爸爸的责任。因为这种情况下，发送信息的行为并未造成任何法律上的损害后果。
若信息违法或侵权：
- 如果孩子发送的信息涉及违法或侵权内容，如诽谤、侮辱、传播淫秽物品等，那么情况就复杂了。此时，需要判断孩子爸爸是否存在过错，以及过错程度如何。
二、孩子爸爸的责任认定
孩子爸爸无过错：
- 如果孩子爸爸对孩子的行为完全不知情，且没有提供任何帮助或支持，那么通常不会追究孩子爸爸的责任。因为法律上，一个人通常只对自己的行为负责，而不对他人的行为负责，除非存在特定的法律关系或过错。
孩子爸爸有过错：
- 如果孩子爸爸知道或应当知道孩子的行为可能违法或侵权，但未采取合理措施予以制止或纠正，那么孩子爸爸可能因疏忽或放任而承担一定的法律责任。这种责任可能是民事上的，也可能是行政上的，甚至可能是刑事上的，具体取决于信息的性质和后果的严重程度。
- 例如，如果孩子爸爸明知孩子在使用其手机发送违法或侵权信息，但未及时收回手机或采取其他措施阻止，那么孩子爸爸可能因未尽到监护责任而承担一定的法律责任。
三、特殊情况考虑
孩子年龄与认知能力：
- 如果孩子年龄较小，认知能力有限，可能无法完全理解自己行为的法律后果。在这种情况下，即使孩子发送了违法或侵权信息，也可能不会直接追究孩子的责任，而是更多地考虑孩子爸爸的监护责任。
手机使用与管理：
- 孩子爸爸作为手机的所有者和管理者，有责任确保手机不被用于违法或侵权活动。如果孩子爸爸未能妥善管理手机，导致孩子能够轻易使用并发送违法或侵权信息，那么孩子爸爸可能因此承担一定的责任。
四、建议与措施
加强沟通与教育：
- 孩子爸爸应与孩子进行充分沟通，教育孩子了解网络行为的法律边界和道德规范，避免发送违法或侵权信息。
妥善管理手机：
- 孩子爸爸应妥善管理自己的手机，设置合理的密码和权限，避免孩子能够轻易使用并发送信息。同时，可以定期检查孩子的手机使用记录，及时发现并纠正不当行为。
及时采取措施：
- 如果发现孩子已经发送了违法或侵权信息，孩子爸爸应立即采取措施予以制止和纠正，如删除信息、向相关方道歉等。同时，应积极配合相关部门的调查和处理工作。
总结：是否会追究孩子爸爸的责任取决于多个因素的综合考量。作为家长，孩子爸爸有责任确保孩子的行为符合法律和道德规范，避免发送违法或侵权信息。如果遇到相关问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。