结论概述：在此情况下，父亲作为担保人，在儿子死亡后，若法拍房所得不足以偿还房贷欠款，且父亲无力继续偿还，可能会面临一定的法律责任和财务压力。不过，具体责任和后续处理方式需根据实际情况和法律规定来综合判断。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
担保人的法律责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，担保人在债务人无法履行债务时，有义务按照约定履行债务或者承担责任。在此案例中，父亲作为房贷的担保人，在儿子（债务人）死亡后，若房产拍卖所得不足以偿还全部欠款，银行有权要求父亲承担剩余债务的偿还责任。
房产拍卖后的债务处理：
- 房产拍卖后，所得款项将首先用于偿还房贷欠款。若拍卖所得不足以偿还全部欠款，剩余部分将视为未清偿债务。
- 银行有权根据担保合同，向父亲追讨剩余债务。若父亲无力偿还，银行可能会采取法律手段，如起诉父亲至法院，要求强制执行其财产以偿还债务。
父亲的财务状况与应对策略：
- 若父亲确实无力偿还剩余债务，他应与银行积极沟通，说明自身财务状况，尝试协商延期还款、分期还款或减免部分债务等方案。
- 父亲还可以考虑咨询专业律师，了解自身法律权益和可能的法律救济途径，如申请个人破产（若符合相关条件）等，以减轻财务压力。
遗产继承与债务清偿：
- 根据《中华人民共和国民法典》关于继承的规定，儿子死亡后，其遗产（包括房产拍卖后的剩余部分，若有）将首先用于清偿债务。
- 若儿子有其他遗产，且遗产价值足以清偿剩余债务，则父亲作为担保人的责任可能会相应减轻或免除。但在此案例中，由于房产拍卖所得已不足以偿还全部欠款，因此这一点的实际意义可能不大。
法律后果与风险提示：
- 若父亲未能按照约定履行担保责任，银行有权采取法律手段追讨债务，这可能导致父亲面临法律诉讼、财产被强制执行等不利后果。
- 父亲还应意识到，作为担保人，其信用记录可能会受到损害，影响未来贷款、信用卡申请等金融活动。
建议与行动指南：
- 父亲应尽快与银行沟通，说明自身财务状况，尝试协商还款方案。
- 咨询专业律师，了解自身法律权益和可能的法律救济途径。
- 若可能，考虑通过其他方式筹集资金，如向亲友借款、出售其他资产等，以尽快偿还剩余债务，减轻法律责任和财务压力。
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