关于调解书分期申请执行的期限问题，结论如下：
执行期限的总体规定：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，申请执行的期间为二年。这一期限从法律文书规定履行期间的最后一日起计算；法律文书规定分期履行的，从规定的每次履行期间的最后一日起计算；法律文书未规定履行期间的，从法律文书生效之日起计算。
分期履行情况下的具体应用：
- 在调解书规定分期履行的情况下，每一期的履行期限都是独立的。因此，对于每一期的履行，如果义务人未按时履行，权利人都有权在该期履行期限届满后的二年内申请执行。
- 举例来说，如果调解书规定义务人应在2023年1月1日支付第一期款项，在2023年7月1日支付第二期款项，那么权利人可以在2023年1月2日至2025年1月1日期间申请执行第一期款项，在2023年7月2日至2025年7月1日期间申请执行第二期款项。
执行期限的中断与延长：
- 申请执行时效的中止、中断，适用法律有关诉讼时效中止、中断的规定。这意味着，如果权利人在申请执行期限内因某些原因（如与义务人协商、提起诉讼等）导致无法及时申请执行，那么申请执行期限可能会因此中断并重新计算。
- 关于执行期限的延长，虽然法律没有明确规定可以延长申请执行期限，但在实践中，如果权利人因特殊情况（如不可抗力、疾病等）无法在规定期限内申请执行，且能够提供充分证据证明其无法申请的原因，法院可能会根据具体情况酌情考虑是否给予一定的宽限期。然而，这并非法律明确规定的权利，而是法院的自由裁量权范围。
实际操作建议：
- 对于权利人而言，应密切关注调解书中规定的每一期履行期限，并在期限届满后及时申请执行，以避免超过申请执行期限而丧失强制执行的权利。
- 如果权利人因特殊原因无法在规定期限内申请执行，应尽快与法院沟通并说明情况，同时积极收集相关证据以支持其申请延期的请求。
总结与提醒：
调解书分期申请执行的期限是二年，且每一期的履行期限都是独立的。权利人应密切关注每一期的履行期限，并在期限届满后及时申请执行。如有特殊情况导致无法及时申请执行，应尽快与法院沟通并说明情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。