结论前置：卖淫被拘留十天，即使家属不签字，公安机关仍然可以依法执行拘留。

详细解释与分析：

1. 拘留决定的作出与执行：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，公安机关在查明事实后，有权对违反治安管理行为人作出拘留的处罚决定。这一决定的作出，是基于对违法事实的认定和法律的适用，与家属是否签字无关。
   • 拘留决定的执行，是公安机关的法定职责。一旦决定作出，公安机关就有权依法将违法人员送至拘留所执行拘留，无需家属签字同意。

2. 家属签字的作用与限制：

   • 家属签字在拘留程序中，通常涉及的是通知家属、送达拘留通知书等环节。这些环节的目的是保障家属的知情权，让家属了解被拘留人的情况。
   • 然而，家属的签字并不是拘留决定作出和执行的必要条件。即使家属拒绝签字，公安机关仍然可以通过其他方式（如留置送达、公告送达等）履行通知义务，并依法执行拘留。

3. 可能的法律后果与救济途径：

   • 如果被拘留人或其家属对拘留决定有异议，可以通过行政复议或行政诉讼等法律途径寻求救济。但这并不影响拘留决定的执行，除非复议机关或法院作出撤销或变更拘留决定的裁决。
   • 在拘留期间，被拘留人也有权提出申诉或控告，如果认为公安机关或拘留所的行为违法或侵犯其合法权益，可以向有关部门提出投诉或申请法律援助。

特殊情况说明：

• 在某些特殊情况下，如被拘留人患有严重疾病、生活不能自理等，公安机关可能会考虑暂缓执行拘留或变更强制措施。但这需要基于具体的医疗证明和公安机关的评估决定，与家属是否签字无关。

建议与提醒：

• 如果您或您身边的人遇到类似情况，建议保持冷静，配合公安机关的工作，并依法行使自己的权利。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。