私刻公章签订虚假授权的行为，可能构成伪造国家机关印章罪或伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪，具体罪名及量刑需根据行为性质和后果确定。以下是对此问题的详细分析：

一、伪造国家机关印章罪

1. 法律规定：

   • 依据《中华人民共和国刑法》第二百八十条，伪造、变造、买卖或者盗窃、抢夺、毁灭国家机关的公文、证件、印章的，将受到法律的严厉制裁，包括处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金；情节严重的，更将面临三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。

2. 构成要件：

   • 主体：此罪名适用于所有达到法定刑事责任年龄且具有刑事责任能力的个人。
   • 客体：该行为侵犯了国家机关的正常管理活动和信誉，破坏了社会管理秩序。
   • 对象：特指国家机关的印章，涵盖各级国家权力机关、行政机关、司法机关、军事机关等。例如，伪造政府部门或法院印章即属此类。

3. 实例说明：

   • 若某人为了非法利益，私刻某县政府的印章，并使用该印章签订虚假授权文件，此行为即构成伪造国家机关印章罪。

二、伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪

1. 法律规定：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条，伪造公司、企业、事业单位、人民团体的印章的，同样将受到法律制裁，包括处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。

2. 构成要件：

   • 主体：与伪造国家机关印章罪相同，一般主体均可构成。
   • 客体：此行为不仅侵犯了相关单位（如公司、企业、事业单位、人民团体）的正常活动声誉，还扰乱了社会公共秩序。
   • 对象：涉及公司（包括有限责任公司和股份有限公司）、各类所有制形式的企业、事业单位（如学校、医院等社会服务组织）以及人民团体（如民主党派、工商联、青工妇等）。

3. 实例说明：

   • 若某人私刻某知名企业的印章，并使用该印章签订虚假的商业授权文件以骗取财物，此行为即构成伪造公司、企业印章罪。

三、共同犯罪与教唆犯

• 在刑法领域，如果指使他人实施私刻公章并签订虚假授权的行为，指使者被视为教唆犯。教唆犯通过劝说、利诱、授意等方式，将自己的犯罪意图灌输给无犯罪意图的人，并促使其按教唆意图实施犯罪。
• 指使他人私刻公章的，无论是指使伪造国家机关印章还是公司、企业等印章，指使者与被指使者均构成相应罪名的共同犯罪。指使者作为教唆犯，需承担相应的刑事责任。

四、法律建议

鉴于私刻公章签订虚假授权行为的法律后果严重，我建议个人和企业严格遵守相关法律法规，不参与任何形式的伪造印章活动。如果已经涉及此类问题，应尽快向我咨询，以便准确了解法律规定、明确法律责任，并寻求最合适的解决方案。

总结：私刻公章签订虚假授权的行为可能构成严重的犯罪，具体罪名及量刑需根据行为性质和后果确定。因此，务必严格遵守法律法规，避免涉及此类违法行为。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。