针对您提出的问题“司机全责且不是车主，交强险理赔后可以向司机追偿吗”，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确的是，交强险在特定情况下赔偿后，确实有权向相关当事人进行追偿。这一权利主要基于相关的法律法规，旨在保障受害人的及时救助和赔偿，同时维护保险公司的合法权益和社会公共利益。
一、追偿的法律依据
《民法典》相关规定：根据《民法典》第一千二百一十五条，如果盗窃、抢劫或者抢夺的机动车发生交通事故造成损害，由盗窃人、抢劫人或者抢夺人承担赔偿责任。保险公司在机动车强制保险责任限额范围内垫付抢救费用的，有权向交通事故责任人追偿。虽然这一条款直接针对的是被盗抢车辆，但其中的追偿原则同样适用于其他符合追偿条件的情形。
《最高人民法院关于审理道路交通事故损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》：该解释第十八条明确规定，驾驶人未取得驾驶资格、醉酒驾驶、服用国家管制的精神药品或麻醉药品后驾驶机动车，以及故意制造交通事故等情形下，保险公司在交强险责任限额内赔偿后，有权向侵权人追偿。
《机动车交通事故责任强制保险条例》：该条例第二十二条也规定了类似的追偿情形，进一步确认了保险公司在特定情况下的追偿权。
二、具体追偿情形
在您提出的问题中，司机全责且不是车主，但交强险是否可以追偿，关键在于司机是否存在上述法律法规中规定的追偿情形。如果司机存在以下情形之一，交强险在赔偿后有权向司机追偿：
驾驶人未取得驾驶资格：如果司机在未取得驾驶证的情况下驾驶车辆并发生事故，交强险在赔偿后有权向司机追偿。
醉酒驾驶：如果司机在醉酒状态下驾驶车辆并发生事故，同样，交强险在赔偿后也有权向司机追偿。
其他符合追偿条件的情形：如司机故意制造交通事故等，交强险在赔偿后也有权追偿。
三、追偿权的诉讼时效
需要注意的是，追偿权的诉讼时效期间自保险公司实际赔偿之日起计算，一般为三年。这意味着，保险公司需要在合理的时间内行使追偿权，以维护自身的合法权益。
四、实例分析
以您提出的问题为例，如果司机全责且不是车主，但司机存在未取得驾驶资格或醉酒驾驶等情形，那么交强险在赔偿后便有权依据相关法律法规向司机进行追偿。这一追偿行为既符合法律法规的规定，也体现了对违法行为的制裁和对受害人权益的保障。
综上所述，交强险在特定情况下承担赔偿责任后，依法享有向相关当事人追偿的权利。如果司机全责且不是车主，但存在符合追偿条件的情形，那么交强险在赔偿后有权向司机追偿。