要证明爷爷和父亲是父子关系，可以通过以下几种方式来进行，这些方式都是基于官方或法律认可的途径，能够确保证明的有效性和权威性：

1. 查阅户籍档案：

   • 可以前往爷爷或父亲原先户籍所在地的派出所，申请查阅历史户籍档案。如果档案中明确记载了爷爷和父亲的父子关系，那么派出所可以根据这些档案出具相应的亲属关系证明。

2. 提供出生证明：

   • 如果父亲有出生医学证明，并且该证明上明确记载了爷爷作为父亲的信息，那么这份出生证明就可以作为证明爷爷和父亲父子关系的直接证据。

3. 利用居民户口簿：

   • 如果爷爷和父亲曾经在同一户口簿上，并且户口簿上明确标注了他们的父子关系，那么这份户口簿就可以作为证明。即使他们现在不在同一户口簿上，但只要曾经在同一户口簿上且关系明确，也可以作为参考。

4. 申请亲属关系公证书：

   • 可以前往当地的公证机构，申请出具《亲属关系公证书》。公证机构会根据提供的证据和资料，对爷爷和父亲的父子关系进行核实，并出具具有法律效力的公证书。

5. 进行亲子鉴定：

   • 如果其他方式都无法提供足够的证明，还可以考虑进行亲子鉴定。通过有资质的亲子鉴定机构进行DNA检测，可以科学、准确地确定爷爷和父亲之间的父子关系。但这种方式通常较为耗时和昂贵，应作为最后的选择。

6. 政府间信息共享查询：

   • 在某些地区，政府间可能实现了信息共享，可以查询到相关的出生医学证明、结婚证等信息。如果这些信息中包含了证明爷爷和父亲父子关系的内容，那么也可以通过这种方式来获取证明。

在实际操作中，建议首先尝试查阅户籍档案或提供出生证明等较为直接和简便的方式。如果这些方式无法满足需求，再考虑申请亲属关系公证书或进行亲子鉴定。同时，由于不同地区的具体规定和操作流程可能有所不同，建议在办理前先咨询当地的相关部门或机构，了解具体的办理要求和流程。