结论：您作为100%持股的股东，确实有权将公司股份转让给您的儿子，但具体操作需考虑孩子的年龄、民事行为能力以及股份转让的合法性和合理性等因素。

详细分析：

1. 股份转让的合法性：

   • 根据《公司法》的相关规定，股东有权依法转让其股权。您作为公司的唯一股东，拥有100%的股权，因此您有权决定将这些股权转让给任何人，包括您的儿子。

2. 考虑孩子的民事行为能力：

   • 您的儿子才一岁多，属于无民事行为能力人。这意味着他无法独立进行民事法律行为，包括接受股份转让。因此，在实际操作中，您可能需要作为他的法定代理人（通常是父母）来代为办理股份转让手续。
   • 在股份转让后，您儿子名下的股份将由其法定代理人（如您或您的配偶）代为管理，直到他达到法定年龄并具备相应的民事行为能力。

3. 股份转让的合理性：

   • 除了合法性外，您还需要考虑股份转让的合理性。例如，您是否希望您的儿子在未来继承公司并继续经营？或者您是否希望通过股份转让来实现某些税务筹划或家庭财富传承的目的？
   • 股份转让可能涉及税务问题，如赠与税或所得税等。因此，在进行股份转让前，建议您咨询专业的税务顾问，以了解相关的税务规定和筹划策略。

4. 实际操作步骤：

   • 签订股份转让协议：您需要与您的儿子（或其法定代理人）签订一份股份转让协议，明确转让的股份数量、价格、支付方式等条款。
   • 办理工商变更登记：在股份转让协议签订后，您需要前往公司注册地的工商行政管理部门办理工商变更登记手续，将公司的股东信息更新为包括您儿子（或其法定代理人）在内的新股东名单。
   • 更新公司章程：如果公司章程中有关于股东资格或股权转让的限制性条款，您还需要相应地更新公司章程，以确保股份转让的合法性和有效性。

建议：

• 在进行股份转让前，建议您先咨询专业的律师和税务顾问，以了解相关的法律和税务规定，并确保股份转让的合法性和合理性。
• 考虑到您儿子的年龄和民事行为能力，您可能需要为他设立一个信托或指定一个监护人来管理他名下的股份，直到他达到法定年龄并具备相应的民事行为能力。

如果您在股份转让过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。