针对您提出的问题，即结婚前生的小孩出生证明没有父亲名字，领结婚证后上父亲户口是否需要亲子鉴定，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确的是，非婚生子女在登记户口时，原则上是可以随母亲登记的。但如果您希望孩子随父亲落户，并且《出生医学证明》上没有父亲的信息，那么根据相关规定，您需要提供合法有效的亲子关系凭证。
具体来说：
如果《出生医学证明》上已有父亲信息：
- 在这种情况下，即使孩子是在父母结婚前出生的，但只要父母后续办理了结婚证，并且《出生医学证明》上明确记录了父亲的信息，那么孩子就不属于非婚生育儿。因此，在给孩子上父亲户口时，通常不需要强制进行亲子鉴定。
如果《出生医学证明》上没有父亲信息：
- 如果您希望孩子随父亲落户，并且《出生医学证明》上没有父亲的信息，那么您需要提供合法有效的亲子关系凭证。这通常包括法院判决书或具有资质的鉴定机构出具的亲子鉴定证明等。
- 亲子鉴定是一种科学、准确的方法，用于确定父母与子女之间的生物学关系。在这种情况下，进行亲子鉴定是为了证明孩子与父亲之间的亲子关系，从而满足户口登记的要求。
针对您的情况：
- 既然孩子是在父母结婚前出生的，并且《出生医学证明》上没有父亲的名字，但父母后续已经办理了结婚证。
- 如果您希望孩子随父亲落户，那么根据相关规定，您可能需要提供亲子鉴定证明（除非当地政策有特别说明，如您提到的《湖南省户口登记管理办法操作细则》中的情况，但具体还需以当地最新政策为准）。
建议：
- 为了确保顺利办理户口登记，建议您先咨询当地派出所或户籍管理部门，了解具体的政策和要求。
- 如果需要提供亲子鉴定证明，请选择具有资质的鉴定机构进行鉴定，并确保鉴定结果的准确性和有效性。
综上所述，是否需要亲子鉴定取决于《出生医学证明》上是否有父亲的信息以及当地的具体政策。为了确保办理过程的顺利，建议您提前咨询并了解相关政策要求。