结论：不可以将沉迷游戏的孩子赶出家门，这种行为可能涉及违法，并会对孩子的身心健康造成严重伤害。以下从法律和实际影响两个角度进行详细分析：
法律角度
家庭保护义务：
- 根据《中华人民共和国未成年人保护法》的相关规定，父母或其他监护人应当为未成年人提供生活、健康、安全等方面的保障，关注未成年人的生理、心理状况和情感需求。将孩子赶出家门，显然违反了这一保护义务，可能构成对未成年人权益的侵害。
遗弃罪的风险：
- 在极端情况下，如果父母将孩子赶出家门，且孩子因此面临生命、健康等严重危险，父母的行为可能构成遗弃罪。遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。虽然这种情况较为极端，但父母仍应警惕此类法律风险。
实际影响角度
对孩子的身心健康造成伤害：
- 孩子沉迷游戏可能是一个复杂的问题，涉及心理、社会等多方面因素。将孩子赶出家门不仅无法解决问题，反而可能加剧孩子的逆反心理，对其身心健康造成更大的伤害。孩子可能因此感到被遗弃、无助和绝望，甚至可能走上违法犯罪的道路。
破坏家庭关系：
- 家庭是孩子成长的重要环境，良好的家庭关系对孩子的身心健康至关重要。将孩子赶出家门会严重破坏家庭关系，导致亲子之间的信任和情感纽带断裂。这种破裂可能难以修复，对孩子的未来产生深远影响。
建议
沟通与理解：
- 父母应与孩子进行坦诚的沟通，了解孩子沉迷游戏的原因和需求。通过理解孩子的内心世界，父母可以更好地引导孩子走出游戏世界，回归正常生活。
设定规则与限制：
- 父母可以与孩子共同制定游戏时间和规则，明确游戏的时间、地点和内容等限制。通过设定合理的规则，父母可以帮助孩子建立自律意识，逐渐减少对游戏的依赖。
提供替代活动：
- 父母可以鼓励孩子参与其他有益的活动，如运动、阅读、社交等。这些活动不仅可以丰富孩子的生活，还可以帮助孩子培养兴趣爱好和社交能力。
寻求专业帮助：
- 如果孩子沉迷游戏的问题较为严重，父母可以寻求专业心理咨询或治疗帮助。专业人士可以根据孩子的具体情况提供个性化的建议和治疗方案，帮助孩子走出困境。
总之，将沉迷游戏的孩子赶出家门是一种不负责任且可能违法的行为。父母应通过沟通、理解、设定规则、提供替代活动和寻求专业帮助等方式来引导孩子走出游戏世界，回归正常生活。如果你有任何关于未成年人保护或家庭关系方面的法律问题，都可以直接向我咨询。