结论：父亲这辈子有案底且被拘留15天，通常不会直接影响子女成为公务员或老师，但具体还需结合案底性质及报考岗位的政审要求来判断。以下从不同角度详细分析：
一、对子女成为教师的影响
法律依据与职业资格：
- 根据《中华人民共和国教师法》第十四条，受到剥夺政治权利或者因故意犯罪受到有期徒刑以上刑事处罚的人，不能取得教师资格。这一规定仅针对教师本人，并未涉及家庭成员的犯罪记录。
- 因此，从法律层面来看，父亲有案底（尤其是仅被拘留15天，未构成有期徒刑以上刑事处罚）并不妨碍子女考取和持有教师资格。
教师资格的取得条件：
- 国家实行教师资格制度，要求申请者遵守宪法和法律，热爱教育事业，具备良好的思想品德，并满足学历要求或通过国家教师资格考试。
- 这些条件均聚焦于申请者个人的学识、能力和道德品质，与家庭成员的犯罪记录无关。
政审环节的实际操作：
- 教师招聘过程中可能包含政审环节，但主要审查拟录用人员本人的政治素质、道德品质及遵纪守法情况。
- 除非父亲的案底涉及严重危害国家安全或社会公共安全的恶劣犯罪行为（这种情况较为罕见），否则一般不会对子女的政审产生实质性影响。
二、对子女成为公务员的影响
公务员政审的严格性：
- 公务员政审通常比教师招聘更为严格，会审查考生本人的政治表现、道德品质以及家庭成员的背景情况。
- 但即便如此，也并非所有家庭成员的犯罪记录都会导致考生政审不合格。关键在于犯罪的性质、严重程度以及与报考岗位的关联性。
具体影响分析：
- 如果父亲的案底仅涉及轻微违法（如被拘留15天），且未构成犯罪，那么对子女成为公务员的影响通常较小。
- 如果案底涉及犯罪，尤其是严重犯罪，那么可能会对子女的政审产生一定影响。但具体影响程度还需结合报考岗位的具体要求以及政审部门的判断。
三、综合建议
了解报考岗位的具体要求：
- 在报考公务员或教师岗位前，建议子女详细了解报考岗位的具体要求，包括政审标准、学历要求、专业要求等。
准备充分的政审材料：
- 如果担心父亲的案底可能对政审产生影响，子女可以提前准备充分的政审材料，如无犯罪记录证明、家庭情况说明等，以证明自己的政治素质和道德品质。
保持诚信态度：
- 在政审过程中，子女应保持诚信态度，如实回答政审部门的问题。如果隐瞒或虚假陈述，一旦被发现，将可能对政审结果产生严重影响。
总结：父亲有案底且被拘留15天，通常不会直接影响子女成为公务员或老师。但具体还需结合案底性质及报考岗位的政审要求来判断。如果子女有志于从事这些职业，建议提前了解报考岗位的具体要求，并准备充分的政审材料。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。