在建设银行有逾期记录的情况下，您仍然有可能办理该行的银行卡，但具体能否办理以及办理的类型会因逾期情况的不同而有所差异。以下是对这一问题的详细解答：
一、办理借记卡（储蓄卡）
结论：即使有逾期记录，您通常仍然可以办理建设银行的借记卡。
分析：
- 借记卡主要具备储蓄、转账、消费等基本功能，并不涉及信用透支。
- 银行在办理借记卡时，对申请人的信用状况审查相对宽松，主要关注的是申请人能否提供合法有效的身份证件，并满足基本的开户条件。
- 因此，只要您能提供有效的身份证明，并满足建行的开户要求，就可以成功办理借记卡。
二、办理信用卡
结论：逾期记录会影响您办理建设银行的信用卡，具体影响程度取决于逾期的严重程度。
分析：
逾期影响信用评估：
- 信用卡的发放依赖于申请人的良好信用状况。逾期记录会被记录在个人征信报告中，成为银行评估信用风险的重要依据。
- 银行在审批信用卡申请时，会调取并仔细审查申请人的个人征信报告。逾期记录会降低您的信用评级，从而影响信用卡的审批结果。
逾期程度决定审批结果：
- 轻微逾期：如果逾期时间较短（如不超过30天）、次数较少（1-2次），且您其他方面条件良好（如稳定收入、较高资产等），银行可能会综合考虑后批准您的申请，但通常会给予较低的信用额度。
- 严重逾期：如果逾期时间较长（如超过90天）、次数较多或存在连续逾期情况，银行大概率会拒绝您的申请。因为严重逾期表明您的信用风险极高，银行担心发放信用卡后您无法按时还款，从而带来损失。
改善信用记录的建议：
- 如果您有轻微逾期记录，可以通过及时还清欠款、保持良好消费和还款习惯等方式改善信用记录，提高申请信用卡的成功率。
- 如果您已经还清逾期欠款，但逾期记录仍然存在，建议在申请信用卡时提供充分的申请材料，如身份证明、工作证明、收入证明等，以证明自己的还款能力和良好信用。
三、综合建议
- 在申请银行卡前，建议您先自查个人征信报告，了解自身信用状况。
- 如果您打算申请信用卡，且存在逾期记录，建议先咨询建设银行当地机构或信用卡中心，了解其具体政策和要求。
- 无论申请哪种类型的银行卡，都应保持良好的信用习惯，避免逾期等不良行为的发生。
综上所述，即使有逾期记录，您仍然有可能办理建设银行的借记卡；但对于信用卡的申请，逾期记录会对您产生一定影响。因此，建议您在申请前充分了解银行政策，并努力改善自己的信用记录。