结论前置：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司在特定情形下可以开除员工且无需支付经济补偿金。以下是对这些情形的详细阐述与分析：

1. 试用期间不符合录用条件：

   • 说明：依据《劳动合同法》第三十九条第一项，若劳动者在试用期内被证明未满足招聘时明确的录用条件（如熟练掌握特定技能、完成特定任务等），用人单位可解除劳动合同且不需赔偿。
   • 关键点：用人单位需在招聘时明确录用条件，并告知劳动者；同时，需有客观证据证明劳动者未达到这些条件，如考核记录、项目成果等。
   • 示例：公司招聘软件开发工程师时，明确要求熟练掌握某编程语言，并在试用期内安排相关项目任务进行考核。若员工无法完成这些任务，经考核确认不符合条件，公司可解除合同。

2. 严重违反用人单位的规章制度：

   • 说明：根据《劳动合同法》第三十九条第二项，当员工行为严重违反了合法制定、已公示的用人单位规章制度（如多次旷工、扰乱工作秩序、违反安全规定等），公司有权解除劳动合同且不支付赔偿。
   • 关键点：用人单位的规章制度需内容合法、程序民主，并向劳动者公示；同时，需有充分证据证明员工严重违反了这些制度。
   • 示例：公司规章制度明确规定禁止在工作场所吸烟，并设置了相应的处罚措施。若某员工多次违规吸烟且不听劝阻，公司可依据此规定解除合同。

3. 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害：

   • 说明：依据《劳动合同法》第三十九条第三项，“重大损害”可由公司规章制度明确定义，或结合行业特点判断。若员工因疏忽或故意行为导致公司遭受巨额损失或声誉损害，公司可解除劳动合同且不支付赔偿。
   • 关键点：需有充分证据证明员工存在严重失职或营私舞弊行为，且这些行为给公司造成了重大损害。
   • 示例：公司财务人员因疏忽大意导致巨额资金被骗取，或采购人员收受供应商回扣给公司带来重大损失，公司可据此解除合同。

4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：

   • 说明：若员工在外兼职且对本职工作产生负面影响（如延误工作、降低工作质量），或在公司要求停止后拒不改正，依据《劳动合同法》第三十九条第四项，公司可解除合同且无需赔偿。
   • 关键点：需有充分证据证明员工在外兼职且影响了本职工作，或在公司提出后仍不改正。
   • 示例：某销售员工同时在竞争公司兼职，导致本公司销售任务无法完成。经公司提出后，该员工仍不停止兼职行为，公司可解除合同。

5. 因欺诈、胁迫致使劳动合同无效：

   • 说明：按《劳动合同法》第三十九条第五项，若劳动者以欺诈、胁迫手段使对方违背真实意愿订立合同（如提供虚假学历、工作经历等），用人单位可解除合同且不需支付赔偿。
   • 关键点：需有充分证据证明劳动者存在欺诈或胁迫行为，且这些行为导致劳动合同无效。
   • 示例：劳动者在应聘时提供虚假学历证书，使用人单位在违背真实意愿的情况下与其签订劳动合同。用人单位发现后，可解除合同且无需补偿。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 说明：根据《劳动合同法》第三十九条第六项，若员工被人民法院判处刑罚（含主刑、附加刑），或被免予刑事处罚，公司可解除其劳动合同且无需支付经济补偿金。
   • 关键点：需有法院生效的刑事判决书或刑事裁定书作为证据。
   • 示例：员工因盗窃罪被依法判刑，公司可解除与其的劳动合同且无需支付任何经济补偿金。

重要提示：公司在解除劳动合同时，必须确保有充分证据支持其决定，并遵循法律程序（如通知工会、告知劳动者解除理由等）。否则，可能因违法解雇而需支付经济补偿或其他赔偿。若你对上述情形或具体操作流程有疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细的法律指导。