结论前置：婚内夫妻私下签订的“无共同财产”协议，并不能剥夺或限制对方孩子（包括私生子，即非婚生子女）的法定继承权。私生子在法律上享有与婚生子女同等的权利和义务，这自然包括了继承权。
婚内财产协议的作用与范围
定义与效力：
- 婚内财产协议是夫妻双方就婚内财产的归属、处分等相关事项达成的书面协议。它必须基于双方的真实意思表示，且内容不得违反法律、行政法规的强制性规定，不损害国家、集体和他人的合法权益。一旦满足这些条件，该协议即具有法律约束力，对夫妻双方均有效。
作用与限制：
- 婚内财产协议主要用于明确夫妻双方在婚姻关系存续期间的财产权益，如某部分财产归一方所有，或实行分别财产制等。在涉及财产分割时，法院会优先按照婚内财产协议的约定来处理夫妻间的财产纠纷。
- 然而，这份协议主要调整的是夫妻之间的财产关系，并不直接涉及子女的继承权问题。继承权是由法律规定的，不是由父母通过协议来决定的。
私生子的继承权
法律地位：
- 私生子（非婚生子女）在法律上与婚生子女享有同等的权利和义务，这包括但不限于继承权。任何组织或个人都不得对非婚生子女进行危害和歧视。
继承权的实现：
- 在法定继承中，非婚生子女作为第一顺序继承人，有权继承被继承人的遗产。他们与婚生子女、配偶、父母在继承份额上一般是均等的，除非存在特殊情况（如对被继承人尽了主要扶养义务、与被继承人共同生活等），否则不得被剥夺或限制其继承权。
与婚内财产协议的关系：
- 婚内财产协议虽然规定了夫妻间的财产分配，但这份协议并不能改变或剥夺私生子的法定继承权。即使夫妻双方签订了婚内财产协议，私生子依然有权按照法律规定继承其应得的份额。
实际操作中的注意事项
- 明确协议内容：在签订婚内财产协议时，应明确协议的内容和范围，避免涉及子女的继承权问题，以免引发不必要的法律纠纷。
- 尊重子女权益：无论子女是婚生还是非婚生，都应尊重他们的法定权益，包括继承权。父母不应通过协议或其他方式剥夺或限制子女的继承权。
- 寻求法律帮助：如果涉及复杂的财产分割或继承权问题，建议寻求专业的法律帮助，以确保自己的权益得到妥善保护。
可能的法律后果
- 如果夫妻双方试图通过婚内财产协议剥夺或限制子女的继承权，该协议中的相关条款可能会被视为无效，因为它们违反了法律的强制性规定。
- 在继承纠纷中，如果私生子被剥夺了继承权，他们有权向法院提起诉讼，要求维护自己的合法权益。
总结：婚内夫妻私下签订的“无共同财产”协议，并不能剥夺或限制对方孩子（包括私生子）的法定继承权。在处理涉及婚内财产协议和子女继承权的问题时，应尊重法律的强制性规定，确保子女的合法权益得到妥善保护。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。