追加犯罪嫌疑人申请书一般应当提交给负责该案件侦查的公安机关或者人民检察院。以下是详细解释和不同情况下的处理建议：
一、提交对象的选择
公安机关：在刑事案件的侦查阶段，如果认为需要追加犯罪嫌疑人，通常应当向负责该案件侦查的公安机关提出申请。公安机关是刑事案件的主要侦查机关，负责收集证据、查明事实、抓捕犯罪嫌疑人等工作。因此，向公安机关提交追加犯罪嫌疑人申请书是符合侦查阶段工作程序的。
人民检察院：如果案件已经进入审查起诉阶段，或者认为公安机关的侦查活动存在违法行为，需要向人民检察院提出监督申请时，也可以将追加犯罪嫌疑人申请书提交给人民检察院。人民检察院是刑事案件的审查起诉机关，负责对公安机关移送的案件进行审查，决定是否提起公诉。在审查过程中，如果发现需要追加犯罪嫌疑人，人民检察院也可以依法进行追加。
二、提交申请书的注意事项
申请书内容：追加犯罪嫌疑人申请书应当详细说明追加犯罪嫌疑人的理由和依据，包括已经掌握的证据、犯罪嫌疑人的身份信息、涉嫌的犯罪事实等。申请书应当客观、真实、准确，避免夸大或虚构事实。
提交方式：申请书可以通过书面形式提交给公安机关或人民检察院，也可以通过电子方式（如电子邮件、在线提交系统等）进行提交。具体提交方式可以根据当地公安机关或人民检察院的要求进行选择。
跟进与沟通：提交申请书后，应当积极与公安机关或人民检察院进行沟通，了解案件进展情况，及时补充或完善相关证据材料。如果公安机关或人民检察院对申请书有疑问或需要进一步了解情况，应当积极配合并提供必要的协助。
三、不同情况下的处理建议
侦查阶段：在侦查阶段，如果认为需要追加犯罪嫌疑人，建议首先与负责该案件的侦查人员进行沟通，了解案件进展情况和侦查方向。如果侦查人员认为需要追加犯罪嫌疑人，可以协助侦查人员准备相关证据材料，并共同向公安机关提交追加犯罪嫌疑人申请书。
审查起诉阶段：在审查起诉阶段，如果认为需要追加犯罪嫌疑人，可以向人民检察院提交申请书，并附上相关证据材料。人民检察院在审查过程中，如果认为需要追加犯罪嫌疑人，会依法进行追加，并通知相关当事人。
特殊情况：如果案件涉及多个犯罪嫌疑人，且已经有一部分犯罪嫌疑人被逮捕或起诉，而认为还需要追加其他犯罪嫌疑人时，应当根据案件的具体情况和侦查、审查起诉的进展情况，选择合适的时机和方式提交追加犯罪嫌疑人申请书。
温馨提示：在处理刑事案件时，每个阶段和情况都可能有所不同。因此，在提交追加犯罪嫌疑人申请书前，建议先向我详细咨询，了解具体的法律程序和注意事项，以确保申请书的合法性和有效性。