监外执行是会留下案底的，且该案底不能消除，会伴随罪犯终身。以下是对这一问题的详细分析：

1. 监外执行的本质与案底的形成

   • 监外执行，作为刑罚执行的一种特殊方式，是针对被判处有期徒刑、拘役的罪犯，在出现法定特殊情形（如严重疾病需保外就医、怀孕或正在哺乳婴儿的妇女等）时，暂时变更执行场所和执行方法的一种制度。其核心在于，尽管罪犯不在监狱等常规服刑场所内执行刑罚，但他们仍然被视为已接受法院的有罪判决，并承担了相应的法律责任。因此，监外执行的前提是罪犯已经被判刑，这本身就说明了罪犯的行为已经构成了犯罪，并且经过了法院的正式审判程序。所以，无论罪犯在监外执行期间的表现如何，其犯罪事实和定罪记录都是不可消除的，会留下所谓的“案底”。

2. 案底的影响与后果

   • 案底，又称“前科”，是个人过去犯法或犯罪行为的记录。它会被保留在公安系统的犯罪人员信息库中，成为罪犯个人档案的一部分。这份记录不仅证明了罪犯的犯罪历史，还可能对其未来的生活产生一系列的影响。例如，在就业方面，许多用人单位在招聘时会对应聘者的犯罪记录进行审查，有案底的求职者可能会面临更大的竞争压力或直接被拒绝录用。同样，在出国、入伍、子女政审等方面，有犯罪记录的人也可能受到更严格的审查或限制。

3. 案底不能消除的法律依据与特殊情况

   • 根据相关法律法规，犯罪记录（即案底）是永久的，不会因为刑罚执行方式的变更（如监内执行或监外执行）或刑罚执行完毕而消除。这意味着，无论罪犯是在监狱内服刑还是通过监外执行的方式完成刑罚，其犯罪记录都将伴随终身。然而，值得注意的是，对于未成年人犯罪，一些地区有相对特殊的政策。在满足一定条件下，可能会对其犯罪记录进行封存，限制对外公开。但这并不意味着案底被消除，而是对未成年人的一种特殊保护，旨在帮助他们更好地融入社会并减少因犯罪记录带来的不利影响。

4. 监外执行罪犯的义务与改善途径

   • 监外执行的罪犯虽然不在监狱服刑，但仍然要接受社区矫正和执行机关的监督与管理。这意味着他们必须遵守一定的规定和限制，以确保刑罚的有效执行和社会的安全稳定。同时，虽然案底不能消除，但罪犯并非没有改善自己处境的可能。他们可以通过积极改正错误、严格遵守法律法规、积极参与社会公益等方式来努力改善自己的社会形象和信誉。在求职、升学等方面，也可以主动向相关单位或个人如实说明自己的情况，以争取获得理解和认可。

综上所述，监外执行是会留下案底的，且该案底不能消除。对于被判处监外执行的罪犯来说，了解并接受这些影响是必要的。同时，他们也应该积极改正错误、遵守法律法规，以减轻犯罪记录带来的负面影响。如果您或您身边的人有关于监外执行或犯罪记录方面的法律问题，可以直接向我咨询。