结论：建设银行信用卡逾期确实可能会对招商银行信用卡产生一定影响，主要体现在个人信用记录、经济成本、法律风险以及银行服务限制等多个方面。以下是对这些影响的详细分析：

一、个人信用记录受损

1. 征信报告留痕：无论是建设银行还是招商银行，信用卡逾期记录都会被上报至中国人民银行征信系统。这会在个人征信报告中留下不良信用记录，该记录通常会保留5年。在这期间，如果你申请招商银行的信用卡、贷款（如房贷、车贷）或其他金融服务，招商银行在审核你的征信报告时，可能会因为看到逾期记录而认为你信用风险较高，从而拒绝你的申请或者提高贷款利率。
2. 信用评级降低：不良的信用记录还可能导致你在金融机构的信用评级降低。这不仅会影响你申请新的信用卡或贷款，还可能在一些需要评估信用的场景中，如租房、租车等，面临额外的押金要求或者被拒绝服务。

二、经济成本增加

1. 高额罚息和滞纳金：虽然建设银行和招商银行是不同的银行，但信用卡逾期的罚息和滞纳金计算方式类似。逾期后，银行会按照每日万分之五的比例收取罚息，同时还会收取一定比例的滞纳金（具体比例以银行规定为准）。这些费用会随着逾期时间的延长而不断累积，增加你的还款负担。
2. 影响提额和优惠权益：如果你在招商银行也有信用卡，建设银行信用卡的逾期行为可能会影响你在招商银行的信用状况。招商银行可能会认为你的还款能力存在问题，从而不仅不会给你提额，还可能会降低你的现有额度，并且取消你原本享受的积分兑换、折扣优惠等权益。

三、法律风险上升

1. 被起诉追偿：如果逾期金额较大且逾期时间较长，无论是建设银行还是招商银行，都有权通过法律途径向你追讨欠款。银行可能会向法院提起诉讼，要求你还清欠款并承担相应的诉讼费用。一旦法院判决生效，而你仍然拒不履行还款义务，银行可以申请强制执行，冻结你的银行账户、查封你的财产等。
2. 涉嫌刑事犯罪：在某些情况下，信用卡逾期可能涉嫌刑事犯罪。根据《中华人民共和国刑法》第一百九十六条的规定，恶意透支信用卡，数额较大的，可能面临刑事处罚。这里的“恶意透支”是指持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并且经发卡银行催收后仍不归还的行为。

四、银行服务限制

1. 卡片功能受限：一旦信用卡出现逾期，银行可能会对卡片的部分功能进行限制。例如，暂停你的信用卡消费、取现等功能，只能用于还款。这会给你的日常生活带来诸多不便。
2. 影响其他银行业务办理：如果你在招商银行还有其他业务，如储蓄账户、理财产品等，建设银行信用卡的逾期也可能会对这些业务的办理产生影响。招商银行可能会对你的账户进行更加严格的管理，甚至可能会影响你后续在该行的业务合作。

建议：为了避免上述不良影响，我建议你务必按时还款，确保信用卡账户状态良好。如果确实遇到还款困难，应及时与银行沟通，寻求解决方案，如申请延期还款、分期还款等。同时，你也可以关注自己的征信报告，及时了解自己的信用状况，以便及时采取措施改善信用记录。如果你有任何法律疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。