结论：老人把公房私自分配写的遗嘱，若仅涉及公房的产权分配，则该遗嘱无效，因为公房产权不属于个人，无法通过遗嘱进行分配；但若遗嘱中涉及的是公房的居住权或承租权的处理，且符合相关法律规定，则该部分内容可以视为有效；对于私房部分，只要遗嘱符合法律规定的生效条件，即使不公证也有效。以下是对这一问题的详细分析：

公房部分

1. 产权归属：

   • 公房（如政府直管公房、单位自管公房）的产权属于国家或集体，个人仅享有使用权或承租权。根据《民法典》的规定，遗嘱只能处分个人合法财产，因此公房的产权无法通过遗嘱继承。

2. 居住权或承租权的处理：

   • 若遗嘱人系公房承租人，可通过遗嘱指定符合条件的同住人或亲属继续承租，但需符合当地公房管理规定。
   • 继承人也可与公房管理单位协商，将公房使用权置换为私房产权后按遗嘱分配，但这一过程中需确保所有法律程序合规，避免纠纷。

3. 法律风险：

   • 未经管理单位同意擅自“继承”公房可能导致纠纷，甚至被收回房屋。因此，在处理公房相关遗嘱时，务必谨慎并咨询专业律师。

私房部分

1. 遗嘱的生效条件：

   • 遗嘱人具备完全民事行为能力：遗嘱人在立遗嘱时，必须精神状况良好，能够正确理解自己行为的性质和后果，独立进行民事活动。
   • 遗嘱内容真实且为遗嘱人的真实意思表示：遗嘱内容必须反映遗嘱人的内心真实想法，不存在受欺诈、胁迫等情形。
   • 遗嘱内容合法：遗嘱所处分的财产必须是遗嘱人个人合法所有的财产，且遗嘱内容不得违反法律、行政法规的强制性规定。
   • 遗嘱形式符合法律规定：如自书遗嘱需亲笔书写并签名；代书遗嘱需两名无利害关系见证人；公证遗嘱需经公证处办理等。

2. 不公证遗嘱的有效性：

   • 遗嘱的效力并非取决于是否经过公证，而是依赖于其是否符合法律所规定的各项要件。公证只是增强遗嘱公信力的一种方式，但并非必要条件。
   • 因此，即使遗嘱未经公证，只要满足上述生效条件，同样具有法律效力。

综合建议

1. 明确财产性质：

   • 在立遗嘱前，务必明确所处分的财产是公房还是私房，以及各自的权利归属。

2. 遵循法律规定：

   • 确保遗嘱内容真实、合法，并符合法定形式要求。对于公房部分，可考虑通过指定承租人或转换产权等方式间接实现意愿。

3. 咨询专业律师：

   • 由于遗嘱涉及复杂的法律问题和家庭关系，建议在立遗嘱前咨询专业律师，以确保遗嘱的有效性和可执行性。

4. 及时更新遗嘱：

   • 随着家庭情况和财产状况的变化，应及时更新遗嘱以反映最新意愿。

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