当公司股东死亡且无人继承其股权时，公司需要按照一系列法定流程来申请变更登记。以下是一个清晰、详细且有深度的解答：

一、确认无人继承股权的情况

首先，公司需要确认该股东确实没有合法继承人或受遗赠人。这通常需要通过法律程序来确认，比如查看股东的遗嘱、遗赠扶养协议（如有），或者通过法院判决来确定。在确认无人继承后，公司才能进行后续的股权变更手续。

二、准备相关材料

在办理股权变更前，公司需要准备以下材料：

1. 股东死亡证明：这是确认股东已去世的基本文件，通常由医院或公安机关出具。

2. 公司相关文件：

   • 公司营业执照副本复印件，加盖公司公章，作为公司合法经营的证明。
   • 公司章程及修正案（如需要），根据公司章程的规定，可能需要修改相关内容以反映股权变更。
   • 股东名册，用于记录公司股东信息，股权变更后需更新。

3. 工商变更登记申请书：填写完整的申请表格，说明股权变更的原因（即股东死亡且无人继承）和具体情况。

4. 股东会决议或董事会决议：公司应召开股东会或董事会会议，审议并通过股权变更事宜，并形成书面决议。决议中应明确说明股东死亡、无人继承股权以及公司决定如何处理该股权（如注销、由公司回购等）。

5. 其他可能需要的文件：根据当地工商部门的要求，可能还需要提供其他相关文件，如税务登记证、组织机构代码证等。

三、提交变更申请

将准备好的所有材料提交至公司注册地的工商行政管理部门。在提交时，应确保所有材料的真实性和完整性，并按照工商部门的要求进行整理和装订。

四、审核与批准

工商部门将对提交的材料进行审核，核实信息的真实性和完整性。审核过程中，工商部门可能会要求公司补充或修改某些材料。审核通过后，工商部门将核准股权变更登记，并可能颁发新的营业执照（如需更换）或出具股权变更登记证明。

五、后续事项处理

1. 更新公司内部记录：

   • 更新股东名册，将已故股东的信息删除，并根据公司决定处理该股权（如注销、由公司回购等）后更新相关记录。
   • 如果公司章程中有关股东信息的内容发生了变化，也应及时进行修改并备案。

2. 通知相关方：

   • 虽然股权变更本身不直接涉及债权人的权益，但出于谨慎考虑，公司可以通知主要债权人关于股权变更的情况。
   • 告知合作伙伴和供应商公司的股权结构已发生变化，有助于维护商业关系的稳定。

3. 办理税务变更：如涉及税务登记信息的变更（如股东信息变更导致税务登记内容变化），还需及时前往税务机关办理相关手续。

六、特殊情况处理

如果公司决定回购已故股东的股权，还需要按照公司章程和法律法规的规定进行操作，包括确定回购价格、支付方式、回购后的股权处理等。此外，如果公司章程对股东死亡后的股权处理有特别规定，应优先遵循公司章程的规定。

综上所述，公司股东死亡且无人继承股权时，公司需要按照一系列法定流程来申请变更登记。在办理过程中，公司应确保所有材料的真实性和完整性，并遵循相关法律法规和公司章程的规定。