结论前置：行政处罚延期的依据主要来源于《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，具体包括因经济困难申请延期缴纳罚款以及特殊情况下办案期限的延长等情形。以下是对这些情形的详细解释：
一、因经济困难申请延期缴纳罚款
法律依据：
- 根据《中华人民共和国行政处罚法》第六十六条：“行政处罚决定依法作出后，当事人应当在行政处罚决定书载明的期限内，予以履行。当事人确有经济困难，需要延期或者分期缴纳罚款的，经当事人申请和行政机关批准，可以暂缓或者分期缴纳。”
具体条件：
- 确有经济困难：这是申请延期缴纳罚款的核心条件。当事人必须向行政机关充分证明其面临的经济困境，如遭遇重大自然灾害、突发重大疾病导致家庭经济负担沉重、企业经营严重困难等客观情况，这些困境应导致其无法按照行政处罚决定书规定的期限按时缴纳罚款。
- 主动申请与详细说明：当事人需要主动向作出行政处罚决定的行政机关提出延期缴纳罚款的申请，并详细说明经济困难的具体情况、预计能够缴纳罚款的时间等内容，同时提供相关证明材料以支持其申请。
- 行政机关审查与批准：行政机关收到申请后，会对当事人提交的材料和情况进行审查核实，判断其是否符合延期缴纳的条件。经审查认为符合条件的，行政机关会批准当事人延期缴纳罚款的请求，并可能会明确具体的延期期限和分期缴纳方案。
注意事项：
- 当事人应当在行政处罚决定书载明的履行期限内提出申请，逾期未提出则可能被视为放弃申请延期缴纳的权利。
- 行政机关批准延期缴纳罚款后，当事人应当按照批准的决定履行义务。如果未按照批准的决定履行，行政机关有权采取相应的措施进行强制执行。
- 法律没有明确规定延期缴纳罚款的具体期限，但实践中一般不超过一年。如果超过一年仍未缴纳罚款，行政机关可能会申请人民法院强制执行。
二、特殊情况下办案期限的延长
法律依据：
- 虽然《中华人民共和国行政处罚法》没有直接规定所有行政处罚案件的办案期限延长情形，但各部门及地方政府根据本地实际情况，制定了具体的行政处罚实施办法，其中可能包含对特殊情况下办案期限延长的规定。例如，《中华人民共和国治安管理处罚法》第九十九条规定：“公安机关办理治安案件的期限，自受理之日起不得超过三十日；案情重大、复杂的，经上一级公安机关批准，可以延长三十日。”
具体情形：
- 案情复杂，不能在规定期限内作出处理决定的，经相关执法部门负责人批准，可延长办案期限。若案情特别复杂，经延期仍不能作出决定的，应由相关会议集体讨论决定是否继续延期。
- 若案件在三个月内仍不能办理完毕，可报经上级行政主管部门批准，进一步延长办案期限。这适用于需要更多时间进行调查取证和审理的复杂案件。
注意事项：
- 办案期限的延长必须依法进行，且需要经过相应的审批程序。
- 延长办案期限并不意味着可以无限期地拖延案件处理，行政机关仍需在合理期限内作出处理决定。
总结与建议：行政处罚延期是一个涉及多个法律层面和具体程序的复杂问题。当事人在面临需要延期的情况时，应充分了解相关法律法规及部门规章的规定，确保申请的合法性与有效性。同时，行政机关也应依法进行审查与审批，以保障当事人的合法权益及行政处罚的公正性与合法性。如果您在行政处罚延期方面遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。