结论：现任丈夫和前妻的孩子是否有权继承继母的家庭财产，主要取决于该孩子与继母之间是否形成了法律上的抚养关系。形成了抚养关系则有继承权，未形成则无直接继承权，但可通过遗嘱获得。
详细分析：
形成抚养关系的情况：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母，其中“子女”包括有扶养关系的继子女。如果现任丈夫和前妻的孩子在与继母共同生活期间，继母对其进行了抚养教育，如提供生活费、教育费，进行生活上的照料等，那么就形成了有扶养关系的继父母与继子女关系。
- 在这种情况下，该孩子与继母的亲生子女享有同等的继承权，有权继承继母的财产。例如，如果继母去世且没有留下遗嘱，那么该孩子将作为第一顺序继承人，与其他第一顺序继承人（如继母的配偶、其他子女、父母等）共同分割继母的个人合法财产。
未形成抚养关系的情况：
- 如果现任丈夫和前妻的孩子在与继母结婚后未共同生活，或者继母未对其进行抚养教育，那么就未形成扶养关系。
- 在这种情况下，从法定继承的角度，该孩子不会直接享有对继母财产的继承权。但是，如果继母通过遗嘱明确表示将自己的部分或全部遗产赠与给他，那么他可以依据遗嘱获得相应遗产，这种情况属于遗赠。
特殊情况的处理：
- 除了上述法定继承和遗嘱继承的情况外，还存在一些特殊方式，如遗赠扶养协议等。这些方式可以根据被继承人的意愿来分配财产，可能不受常规法定继承规则的限制。但这种情况相对较少，且需要满足一定的法律条件。
建议与注意事项：
- 在处理涉及继子女继承权的问题时，应充分考虑家庭关系、扶养情况以及遗嘱存在与否等因素。
- 如果继母希望将财产留给与自己形成抚养关系的继子女，或者希望排除某些继承人的继承权，可以通过立遗嘱的方式来实现。遗嘱的订立应遵守《民法典》关于遗嘱形式和内容的规定，确保遗嘱的合法有效。
- 在存在多个继承人或遗嘱受益人的情况下，应依法进行财产分配，避免引发继承纠纷。如果发生纠纷，可以通过协商、调解或诉讼等方式解决。
总之，现任丈夫和前妻的孩子是否有权继承继母的家庭财产，取决于是否形成了抚养关系以及继母是否留下了有效遗嘱。在处理相关继承问题时，应充分考虑法律规定及实际情况，并向我咨询以确保合法权益得到保障。