公司开除员工的正常流程是一个严谨且需要遵循法律法规的过程，以下是一个详细且深入的解答：

一、合法依据与前提

首先，公司开除员工必须基于合法的依据，这通常包括：

1. 员工严重违反公司规章制度：公司需有明确、合法且经过民主程序制定的规章制度，并确保员工已知晓。规章制度中应明确列出哪些行为属于严重违纪，以及相应的处罚措施。

2. 员工严重失职或营私舞弊：员工因故意或重大过失给公司造成重大损失，或利用职务之便谋取私利，损害公司利益。

3. 员工同时与其他用人单位建立劳动关系：且该行为对完成本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正。

4. 员工被依法追究刑事责任：如员工因犯罪被判处刑罚，公司有权解除劳动合同。

二、开除流程

1. 调查与取证：

   • 公司应对员工的违纪行为进行调查，收集相关证据，如监控录像、证人证言、书面记录等。
   • 确保调查过程公正、客观，避免主观臆断或偏见。

2. 通知员工：

   • 在决定开除员工前，公司应书面通知员工，说明开除的理由、依据及后果。
   • 给予员工陈述和申辩的机会，听取其意见和解释。

3. 内部审批：

   • 开除决定通常需要经过公司内部相关部门的审批，如人力资源部、法务部等。
   • 确保开除决定符合公司政策和法律法规要求。

4. 正式解除劳动合同：

   • 经审批后，公司应正式向员工送达《解除劳动合同通知书》，明确解除劳动合同的日期、原因及经济补偿等事项。
   • 通知书应加盖公司公章，并由员工签收或通过其他合法方式送达。

5. 办理离职手续：

   • 协助员工办理工作交接、社保转移、档案转移等离职手续。
   • 结清员工工资、奖金、经济补偿等费用。

6. 备案与存档：

   • 将开除决定及相关证据材料备案存档，以备后续可能出现的劳动争议或法律诉讼。

三、注意事项

1. 遵循梯度惩戒原则：

   • 对员工的违纪行为，公司应遵循警告、教育、惩戒的合理步骤，避免“小过重罚”。
   • 在解除劳动合同前，应确保员工的行为已达到严重违反公司规章制度的程度。

2. 确保程序合规：

   • 开除员工必须遵循法定程序，如提前通知、听取申辩、内部审批等。
   • 避免因程序不合规而导致开除决定被撤销或承担法律责任。

3. 保留证据：

   • 在整个开除过程中，公司应妥善保留相关证据材料，如调查记录、通知书、签收记录等。
   • 这些证据在后续可能出现的劳动争议或法律诉讼中至关重要。

4. 咨询专业意见：

   • 在开除员工前，公司可咨询法律专业人士或劳动仲裁机构的意见，确保开除决定的合法性和合理性。

四、案例分析

以您提供的案例为例，甲公司因员工李某“多次睡觉、玩手机”等违纪行为而解除劳动合同，但最终被法院认定为违法解除。原因在于甲公司未能充分举证李某的行为已达到严重违反公司规章制度的程度，且未证明该行为给公司生产经营造成严重影响或重大损失。这提醒公司，在开除员工时，必须确保事实确凿、依据明确、程序合规。

综上所述，公司开除员工是一个需要谨慎处理的过程，必须遵循法律法规和公司政策，确保程序合规、证据充分、处理公正。