行政机关的补偿，主要涉及行政征收补偿和行政赔偿两种情形，其法律规定如下：
一、行政征收补偿
行政征收补偿是政府为了公共利益需要，依法强制取得公民合法财产并给予合理补偿的制度。这一制度在我国多部法律中均有明确规定，旨在平衡公共利益与个人权益之间的关系。
宪法基础：
- 《中华人民共和国宪法》第十三条规定，公民合法的私有财产不受侵犯。国家为了公共利益的需要，可以依照法律规定对公民的私有财产实行征收或者征用并给予补偿。这为行政征收补偿提供了最高法律层面的依据。
民法典规定：
- 《中华人民共和国民法典》第二百四十三条指出，为了公共利益的需要，依照法律规定的权限和程序可以征收集体所有的土地和组织、个人的房屋以及其他不动产。征收集体所有的土地，应当依法及时足额支付土地补偿费、安置补助费以及农村村民住宅、其他地上附着物和青苗等的补偿费用，并安排被征地农民的社会保障费用，保障被征地农民的生活，维护被征地农民的合法权益。同时，第二百四十五条还规定了紧急情况下征用不动产或动产的补偿原则。
土地管理法细化：
- 《中华人民共和国土地管理法》第四十八条对征收土地的补偿原则进行了详细阐述，强调补偿应公平、合理，保障被征地农民原有生活水平不降低、长远生计有保障。补偿费用包括土地补偿费、安置补助费以及农村村民住宅、其他地上附着物和青苗等的补偿费用，并明确了这些费用的具体标准和制定方式。
国有土地上房屋征收：
- 对于国有土地上的房屋征收，《国有土地上房屋征收与补偿条例》提供了具体的操作规范。该条例规定了征收国有土地上单位、个人房屋应给予公平补偿的原则，并列举了补偿的具体内容，包括房屋价值补偿、搬迁补偿、临时安置补偿以及停产停业损失补偿等。同时，鼓励市、县级人民政府制定补助和奖励办法，以更好地保障被征收人的权益。
二、行政赔偿
行政赔偿是指行政机关及其工作人员在行使行政职权时，侵犯公民、法人或其他组织的合法权益造成损害的，由国家承担赔偿责任的法律制度。
赔偿范围：
- 根据《中华人民共和国国家赔偿法》，行政机关及其工作人员在行使行政职权时，若侵犯了人身权（如违法拘留、非法拘禁、殴打虐待等）或财产权（如违法罚款、征收、征用等），受害人有权取得赔偿。这一规定确保了公民、法人和其他组织的合法权益不受侵害。
赔偿请求人与赔偿义务机关：
- 赔偿请求人包括受害的公民、法人和其他组织。若受害公民死亡，其继承人及有扶养关系的亲属可提出赔偿请求；若受害法人或其他组织终止，其权利承受人有权要求赔偿。
- 赔偿义务机关则根据侵权行为的具体情况确定，包括实施侵权行为的行政机关、多个共同侵权的行政机关、法律、法规授权的组织或个人在行使授权权力时侵权的被授权组织或委托的行政机关等。
赔偿程序：
- 赔偿程序包括单独提出赔偿请求和在行政复议或行政诉讼中一并提出两种方式。赔偿请求人可直接向赔偿义务机关提出赔偿请求，也可在提起行政诉讼的同时提出赔偿请求。若赔偿请求人对赔偿义务机关的决定有异议或赔偿义务机关逾期不予赔偿，可向人民法院提起行政赔偿诉讼。
赔偿方式与计算标准：
- 赔偿方式以支付赔偿金为主，同时可根据实际情况返还财产或恢复原状。
- 计算标准则根据侵犯的具体权益类型确定，如侵犯人身自由每日赔偿金按国家上年度职工日平均工资计算；侵犯生命健康权则根据伤害程度支付医疗费、护理费、误工费、残疾赔偿金、死亡赔偿金、丧葬费等；侵犯财产权则返还财产、解除查封扣押、支付损坏或灭失的赔偿金等。
总结与建议：
行政机关的补偿制度是一个复杂而细致的法律体系，涉及多个法律领域和多个层面的规定。在实际操作中，若您认为行政机关的征收或行政行为侵犯了您的合法权益，建议您首先了解相关法律规定，明确自己的权益和可能的救济途径。如有需要，您可以向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。