结论：若拘留时罪名是寻衅滋事，批捕时仍是该罪名，说明案件已进入刑事诉讼的较为深入阶段，情况相对严重，可能面临较为严厉的刑事处罚。以下从拘留与批捕的关系、寻衅滋事罪的刑事处罚、案件后续走向及应对建议等角度详细分析：
拘留与批捕的关系及寻衅滋事罪的严重性
- 拘留阶段：当一个人因涉嫌寻衅滋事被刑事拘留时，意味着公安机关已经掌握了初步证据，认为其行为可能构成寻衅滋事罪。刑事拘留是一种强制措施，目的是为了保障刑事诉讼的顺利进行，防止犯罪嫌疑人逃避侦查、起诉和审判。
- 批捕阶段：批捕是检察机关对公安机关提请批准逮捕的犯罪嫌疑人进行审查后，决定是否批准逮捕的过程。如果批捕时罪名仍然是寻衅滋事，这表明检察机关经过审查，认为有证据证明犯罪嫌疑人确实实施了寻衅滋事行为，且符合逮捕的条件，如可能判处徒刑以上刑罚、有社会危险性等。这一阶段案件已经进入刑事诉讼的较为深入阶段，相较于拘留阶段，情况更为严重。
寻衅滋事罪的刑事处罚
根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条的规定，有下列寻衅滋事行为之一，破坏社会秩序的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制：
- 随意殴打他人，情节恶劣的；
- 追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的；
- 强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物，情节严重的；
- 在公共场所起哄闹事，造成公共场所秩序严重混乱的。
若纠集他人多次实施上述行为，严重破坏社会秩序的，处五年以上十年以下有期徒刑，可以并处罚金。
案件后续走向
- 侦查阶段：批捕后，案件将继续由公安机关进行侦查，收集更多证据以证明犯罪嫌疑人的罪行。侦查期限一般为两个月，经上级检察机关批准可以延长一个月。
- 审查起诉阶段：侦查终结后，案件将移送检察机关审查起诉。检察机关将对案件进行全面审查，决定是否提起公诉。如果认为证据不足或犯罪情节轻微，可能会作出不起诉决定；如果认为构成犯罪，将向法院提起公诉。
- 审判阶段：如果案件进入审判阶段，法院将依法审理并作出判决。判决结果将根据犯罪嫌疑人的犯罪情节、社会危害程度等因素综合确定。
应对建议
- 积极配合调查：如果自己是犯罪嫌疑人，应积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，不得隐瞒或伪造证据。
- 委托律师辩护：及时委托专业律师为自己进行辩护。律师将根据案件事实和法律规定，为犯罪嫌疑人提供法律帮助，维护其合法权益。
- 关注案件进展：犯罪嫌疑人的家属应密切关注案件进展，及时了解案件情况，为犯罪嫌疑人提供必要的支持和帮助。
最后，寻衅滋事罪是一种严重的犯罪行为，一旦涉嫌该罪名并被批捕，将面临较为严厉的刑事处罚。因此，建议大家在日常生活中遵守法律法规，尊重他人和社会秩序，避免任何违法乱纪的行为。如果遇到相关问题或疑虑，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。