结论：在夫妻一方存单且一方死亡的情况下，子女是否有权取出存单上的资金，这主要取决于存单的性质（是否为夫妻共同财产）以及是否存在有效的遗嘱或法定继承程序。以下分情况详细说明：

1. 存单为夫妻共同财产

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻在婚姻关系存续期间所得的财产，为夫妻的共同财产，归夫妻共同所有。因此，如果存单是在婚姻关系存续期间存入的，且没有特别约定为个人财产，那么该存单应视为夫妻共同财产。
   • 继承情况：在一方死亡后，其对该存单的份额将作为遗产进行继承。如果死者留有遗嘱，且遗嘱中明确指定了该份额的继承人，那么子女或其他继承人需按照遗嘱进行继承。如果死者没有留有遗嘱，那么将按照法定继承顺序进行继承，子女作为第一顺序继承人，有权继承该份额。
   • 取款流程：在继承程序完成后，继承人（包括子女）需持相关证明文件（如死亡证明、继承权证明书等）到银行办理取款手续。如果存单是共同财产，且另一方仍在世，那么通常需要另一方的同意或配合才能取出资金。

2. 存单为个人财产

   • 法律背景：如果存单是死者婚前存入的，或者虽然婚后存入但明确约定为个人财产，那么该存单应视为死者的个人财产。
   • 继承情况：同样，如果死者留有遗嘱，子女需按照遗嘱进行继承。如果没有遗嘱，则按照法定继承顺序进行继承。
   • 取款流程：在继承程序完成后，继承人需持相关证明文件到银行办理取款手续。由于这是个人财产，因此不需要另一方的同意或配合。

3. 特殊情况

   • 如果存单设有密码或需要其他身份验证：即使子女是继承人，也可能需要提供额外的信息或文件才能取出资金。这取决于银行的具体规定和存单的条款。
   • 如果存单是联名账户：那么情况可能更为复杂。联名账户通常要求所有账户持有人共同同意才能进行交易。因此，在一方死亡后，另一方可能仍然需要提供额外的文件或信息才能取出资金。

法律建议：

• 在处理此类问题时，建议首先确定存单的性质（是否为夫妻共同财产）以及是否存在有效的遗嘱。
• 如果存在争议或不确定的情况，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
• 在办理取款手续时，务必携带所有必要的证明文件，并遵循银行的具体规定和流程。

可能法律后果：

• 如果未经合法继承程序擅自取出资金，可能构成违法行为，并面临法律责任。
• 如果因继承问题产生纠纷，可能需要通过法律途径解决，如诉讼或调解等。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何进一步的法律问题或需要更具体的建议，请随时向我咨询。