行政立案后，双方当事人是可以私下和解的。以下从多个角度为你详细分析：

法律背景与依据

在行政诉讼中，虽然主要解决的是行政机关与公民、法人或其他组织之间的行政争议，但法律并未禁止双方当事人在诉讼过程中进行和解。实际上，和解作为一种解决争议的方式，有助于减少诉讼成本，提高解决效率，同时也体现了对当事人意思自治的尊重。不过，需要注意的是，行政诉讼中的和解与民事诉讼中的和解在性质上有所不同，它更多地涉及到行政权力的行使和公共利益的维护。

和解的条件与程序

1. 双方自愿：和解必须基于双方当事人的自愿，任何一方都不得强迫对方接受和解条件。
2. 合法合规：和解的内容必须合法，不得违反法律法规的强制性规定，也不得损害国家利益、社会公共利益和他人合法权益。
3. 法院审查：虽然双方可以私下达成和解，但和解协议通常需要提交给法院进行审查。法院会审查和解协议是否合法、自愿，以及是否损害了国家利益、社会公共利益和他人合法权益。只有经过法院审查并确认有效的和解协议，才能产生法律效力。

和解的法律后果

1. 终结诉讼：一旦和解协议被法院确认有效，行政诉讼程序通常会随之终结。这意味着双方当事人之间的行政争议得到了解决，法院不再对案件进行审理和判决。
2. 执行力：和解协议具有执行力，如果一方当事人不履行和解协议，另一方当事人可以向法院申请强制执行。

实际操作中的建议

1. 谨慎协商：在和解过程中，双方当事人应谨慎协商，确保和解协议的内容合法、合理，并充分考虑自身的权益和义务。
2. 寻求专业帮助：由于行政诉讼涉及复杂的法律问题和程序，建议双方当事人在和解过程中寻求专业律师的帮助，以确保和解协议的合法性和有效性。
3. 及时提交法院审查：达成和解协议后，应及时将协议提交给法院进行审查，以确保协议能够产生法律效力并终结诉讼程序。

特殊情况说明

如果行政案件涉及公共利益、重大社会影响或法律明确规定不得和解的情形（如某些涉及国家安全、公共安全的案件），则可能不允许私下和解。在这种情况下，双方当事人应遵守法律规定，通过正常的诉讼程序解决争议。

总结来说，行政立案后双方当事人是可以私下和解的，但需要满足一定的条件并遵循相应的程序。如果你在行政诉讼中遇到相关问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。