核心结论：公安机关立案后长期未抓捕犯罪人，可通过监督程序、申请复议、控告申诉等法律途径推动案件进展，同时需结合案件性质、证据情况及追诉时效综合判断。以下是具体分析：

1. 公安机关立案后长期未抓捕的可能原因

• 证据不足：若案件证据未达到“犯罪事实清楚，证据确实充分”的逮捕标准（如缺乏直接证据、证人证言矛盾等），公安机关可能暂缓抓捕，继续补充侦查。
• 犯罪人在逃：若犯罪人潜逃境外或隐藏身份，公安机关需通过技术侦查、国际合作等手段追踪，耗时可能较长。
• 案件性质特殊：如涉及经济犯罪、网络犯罪等复杂案件，需跨区域协调或专业鉴定，导致进程延迟。
• 程序瑕疵：个别情况下可能存在立案后未及时开展侦查的问题，但需通过内部监督或外部监督纠正。

2. 当事人可采取的法律措施

• 向公安机关申请复议： 根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第176条，若认为公安机关不立案或立案后不作为，可向原公安机关申请复议，或向上一级公安机关申请复核。
• 向检察院申请立案监督： 根据《刑事诉讼法》第113条，当事人可向同级检察院提出立案监督申请，检察院有权要求公安机关说明理由，若认为理由不成立，应通知公安机关立案。
• 控告或举报： 若发现公安机关存在徇私枉法、拖延办案等违法行为，可向纪检监察部门或上级公安机关控告，要求追究相关人员责任。
• 自诉案件的特殊处理： 若案件属于“被害人有证据证明的轻微刑事案件”（如侮辱、诽谤、虐待等），且公安机关未立案，被害人可直接向法院提起自诉。

3. 需注意的追诉时效问题

• 法定最高刑为不满五年有期徒刑：追诉时效为5年（如故意伤害致人轻伤）。
• 法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑：追诉时效为10年（如非法拘禁罪）。
• 法定最高刑为十年以上有期徒刑：追诉时效为15年（如抢劫罪）。
• 法定最高刑为无期徒刑、死刑：追诉时效为20年；若认为必须追诉，需报最高检核准。
• 时效中断与延长：若犯罪人在追诉期内再次犯罪，时效从后罪之日起重新计算；若公安机关已立案或法院已受理，不受时效限制。

4. 实务建议

• 收集证据：保留与案件相关的物证、书证、证人联系方式等，协助公安机关补充侦查。
• 定期跟进：通过书面形式（如挂号信）向公安机关询问案件进展，留存沟通记录。
• 法律文书准备：撰写《立案监督申请书》或《复议申请书》时，需明确事实、法律依据及诉求，避免情绪化表述。
• 心理预期管理：复杂案件（如涉黑、跨国犯罪）的侦查周期可能较长，需理性看待程序合法性。

提示：若案件已超过追诉时效，且无时效中断情形，公安机关可能依法撤销案件。建议结合具体案情（如犯罪性质、证据情况）进一步分析，如有疑问可直接向我咨询。