涉嫌刑事案件的犯罪嫌疑人，一般会被羁押在当地的看守所。这是刑事诉讼活动中常见的羁押场所，旨在确保诉讼的顺利进行并保障犯罪嫌疑人的安全。以下是对此问题的详细阐述：

一、主要关押场所：看守所

1. 功能定位：看守所是公安机关的一个重要业务部门，专门用于羁押依法被逮捕、刑事拘留的犯罪嫌疑人。它不仅是羁押场所，还便于公安机关、检察机关和法院在侦查、起诉和审判阶段提审犯罪嫌疑人，从而确保刑事诉讼活动的有序进行。
2. 管辖机构：看守所由公安机关管辖，其主要职责是保障刑事诉讼活动的顺利进行，并对被羁押人员进行日常监管，确保其安全。
3. 关押时段：从犯罪嫌疑人被逮捕直至法院作出最终判决的这段时间内，大多数情况下都会被关押在看守所。例如，盗窃案件中的犯罪嫌疑人，在被警方刑事拘留后，会立即被送往当地的看守所进行羁押。

二、特殊情况下的羁押安排

1. 临时关押：在执行拘留后的短暂时间内（送看守所之前），犯罪嫌疑人可能会被暂时留在公安机关的办案场所。这主要是为了及时进行讯问、调查取证等必要工作。但依据法律规定，公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问，并在同一时限内（除无法通知或涉嫌特定犯罪情形外）通知被拘留人的家属。同时，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。
2. 特殊身份犯罪嫌疑人：对于涉及国家秘密、重大政治影响等特殊案件的犯罪嫌疑人，可能会根据相关规定采取特殊的监管措施和羁押地点。这种安排需严格按照法律程序和规定执行，并确保犯罪嫌疑人的合法权益不受侵犯。
3. 特殊群体犯罪嫌疑人：对于患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女等特殊群体的犯罪嫌疑人，在符合条件的情况下，可以采取取保候审或者监视居住的强制措施，以避免不必要的羁押对其造成不利影响。

三、异地执行拘留的相关规定

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关法律规定，公安机关在异地执行拘留、逮捕时，应通知被拘留、逮捕人所在地的公安机关，并得其配合。拘留后，同样应遵循上述关于送看守所羁押、讯问及家属通知的时间限制。

四、法律建议

1. 了解法律程序：对于涉嫌刑事案件的犯罪嫌疑人及其家属来说，了解拘留、羁押的法律程序至关重要。这有助于他们明确自己的权利和义务，并在必要时采取合适的法律措施。
2. 及时寻求法律帮助：如果面临刑事拘留问题，建议及时向我咨询，以便获得更具体的法律指导和支持。我可以根据具体情况提供针对性的法律建议，帮助维护合法权益。

综上所述，涉嫌刑事案件的犯罪嫌疑人一般会被羁押在当地的看守所。但在特殊情况下，可能会根据案件性质和犯罪嫌疑人的特殊情况采取不同的羁押安排。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。