孩子被同学撞下楼梯，家长应首先确保孩子得到及时救治，再根据责任划分情况，通过协商、调解或诉讼途径要求责任方赔偿。具体处理及赔偿方式如下：

一、紧急处理与证据收集

1. 立即救治：孩子受伤后，首要任务是确保其得到及时、有效的医疗救治。家长应迅速将孩子送往医院，并保留好所有医疗记录、费用单据等，这些将作为后续赔偿的重要依据。
2. 收集证据：在确保孩子安全的前提下，家长应尽可能收集现场证据，如拍照、录像记录楼梯状况、孩子受伤情况等。同时，寻找目击者并记录其联系方式，以便后续需要时能够作证。

二、责任划分

1. 学校责任：如果事故发生在学校内，且学校未尽到安全保障义务（如楼梯维护不当、未设置警示标志等），则学校应承担相应的赔偿责任。根据《民法典》的相关规定，无民事行为能力人在幼儿园、学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害的，幼儿园、学校或者其他教育机构应当承担侵权责任；但是，能够证明尽到教育、管理职责的，不承担侵权责任。
2. 同学责任：如果事故是由同学直接造成的（如故意推搡、奔跑打闹等），则该同学及其监护人应承担赔偿责任。根据《民法典》的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。
3. 混合责任：在某些情况下，事故可能由学校和同学共同造成，此时应根据各自的过错程度分担责任。

三、赔偿途径与方式

1. 协商：家长可以首先尝试与学校、同学及其监护人进行协商，就赔偿事宜达成一致意见。协商过程中，应明确赔偿项目（如医疗费、护理费、交通费、营养费等）和赔偿金额，并签订书面协议。
2. 调解：如果协商无果，家长可以向学校、教育部门或相关调解机构申请调解。调解机构将组织双方进行调解，并促成双方达成赔偿协议。
3. 诉讼：如果调解仍无法解决问题，家长可以向法院提起诉讼，要求责任方承担赔偿责任。在诉讼过程中，家长需要提供充分的证据证明责任方的过错以及孩子所遭受的损失。法院将根据事实和法律规定作出判决，并强制执行。

四、赔偿项目与标准

赔偿项目通常包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入（如果家长因照顾孩子而误工）。具体赔偿标准应根据孩子的实际损失和当地的经济发展水平等因素综合确定。

建议：在处理此类事故时，家长应保持冷静、理性，通过合法途径维护孩子的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。