核心结论：孩子在学校下楼梯摔伤的赔偿问题，需根据具体情况判断责任主体，进而确定赔偿方式和范围。以下是具体分析：

1. 学校是否承担责任
   根据《民法典》第1199条（原《侵权责任法》第38条），无民事行为能力人（8周岁以下）在幼儿园、学校或其他教育机构学习、生活期间受到人身损害的，教育机构应承担侵权责任，但能证明已尽到教育、管理职责的除外。

   • 若学校未尽到安全保障义务（如楼梯湿滑未及时清理、未设置警示标志、未安排老师疏导等），学校需承担主要或全部赔偿责任。
     
   • 若学校已尽到职责（如定期检查设施、开展安全教育、摔伤后及时救助等），则可能减轻或免除责任。
     

2. 赔偿范围
   若学校需赔偿，范围包括：

   • 医疗费：实际支出的检查、治疗、药品等费用；
     
   • 护理费：家长因陪护产生的误工费（需提供收入证明）；
     
   • 交通费：就医产生的合理交通支出；
     
   • 营养费：根据医嘱或实际需要酌情支持；
     
   • 残疾赔偿金（如构成伤残）：需通过司法鉴定确定伤残等级后计算。
     

3. 其他可能责任方

   • 第三方过错：若摔伤因其他学生推搡、故意绊倒等导致，侵权学生监护人需承担相应责任，学校可能因未及时制止而承担补充责任。
     
   • 孩子自身原因：若因孩子奔跑、打闹等自身行为导致，可能减轻学校责任，但学校仍需证明已尽到管理职责。
     

建议行动步骤：

1. 固定证据：立即保存现场照片、监控录像、医疗记录、费用票据等；
   
2. 与学校协商：要求学校说明事发经过，并书面回应责任认定；
   
3. 申请调解或诉讼：若协商无果，可向教育部门申请调解，或直接向法院起诉，由法院根据证据划分责任比例。
   

温馨提示：儿童活泼好动，学校需加强安全防护措施（如防滑楼梯、警示标识、老师巡查等），家长也可通过购买意外险等方式分散风险。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体细节。