结论：银行在一审未提交证据且该证据不属于新证据的情况下，原则上不能再提交；但如果存在特殊情形，如因客观原因无法及时提交等，且对方当事人不同意质证时，法院可能会根据具体情况决定是否采纳该证据，但采纳的可能性相对较小。以下是对此问题的详细分析：

一、一审未提交证据且非新证据的一般原则

在民事诉讼中，证据的提交是当事人履行举证责任的重要环节。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，当事人应当在法庭调查结束前提交证据，以支持其主张或反驳对方的主张。如果银行在一审过程中未提交某项证据，且该证据不属于新证据（即非因客观原因无法在举证期限内提供，也非在庭审结束后新发现的证据），那么原则上，银行在后续的诉讼程序中（包括一审的后续阶段、二审等）不能再提交该证据。

二、特殊情形下的证据提交

尽管存在上述一般原则，但在某些特殊情形下，银行可能仍有机会提交原本未提交的证据。这些特殊情形通常包括：

1. 因客观原因无法及时提交：如果银行因不可抗力或其他客观原因（如证据原件被他人非法扣押、证据涉及国家秘密或个人隐私等）无法在举证期限内提交证据，且能够在后续诉讼程序中提供合理说明和证明的，法院可能会允许其提交。

2. 对方同意质证：如果对方当事人同意对银行后续提交的证据进行质证，那么法院通常会考虑采纳该证据。然而，在本题中，对方当事人不同意质证，因此这一情形不适用。

3. 法院依职权调查收集：在极少数情况下，如果法院认为案件事实需要进一步查清，且该证据与案件事实紧密相关，法院可能会依职权调查收集该证据。但这种情况较为罕见，且通常发生在涉及公共利益或重大社会影响的案件中。

三、对方当事人不同意质证的法律后果

如果银行试图提交原本未提交的证据，且对方当事人不同意质证，那么法院在决定是否采纳该证据时，会综合考虑多种因素，包括但不限于：

• 证据的重要性：如果该证据对案件事实的认定具有关键作用，法院可能会更倾向于采纳。
• 提交证据的时机：如果银行在庭审结束后才提交证据，且没有合理理由，法院可能会认为其违反了举证时限的规定，从而拒绝采纳。
• 对方当事人的权益：法院会考虑采纳该证据是否会对对方当事人的权益造成不公平的影响。

在大多数情况下，如果银行在一审未提交证据且该证据不属于新证据，且对方当事人不同意质证，法院不太可能采纳该证据。

四、建议与风险提示

1. 及时提交证据：银行应在一审过程中及时提交所有相关证据，以避免因举证时限问题而丧失举证机会。

2. 合理说明与证明：如果因特殊原因无法及时提交证据，银行应在后续诉讼程序中提供合理说明和证明，以争取法院的采纳。

3. 尊重对方权益：在提交证据时，银行应尊重对方当事人的权益，避免提交可能侵犯对方隐私或商业秘密的证据。

4. 咨询专业律师：如有任何疑问或需要进一步的法律建议，银行应及时咨询专业律师，以确保其诉讼策略的合法性和有效性。

希望以上分析能对你有所帮助。如果你有任何其他法律问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。