结论：特困人员在供养机构自杀，养老机构是否有义务赔偿，需根据具体情况判断，主要看养老机构是否存在过错以及过错与自杀行为之间是否存在因果关系。

分析如下：

1. 过错责任原则：

   • 在一般情况下，如果养老机构能够证明其已经尽到了合理的安全保障义务，如提供了安全的生活环境、进行了必要的安全教育、对特困人员的心理状况进行了关注等，且特困人员的自杀行为是由于其个人原因（如心理疾病、个人选择等）导致的，那么养老机构通常不需要承担赔偿责任。
   • 如果养老机构存在过错，如未提供安全的生活环境、未对特困人员进行必要的安全教育或心理关注、未及时发现并制止自杀行为等，且这些过错与特困人员的自杀行为之间存在因果关系，那么养老机构可能需要承担相应的赔偿责任。

2. 因果关系判断：

   • 因果关系是判断养老机构是否需要承担赔偿责任的关键因素。即使养老机构存在过错，但如果这些过错与特困人员的自杀行为之间没有直接的因果关系，那么养老机构也不需要承担赔偿责任。
   • 例如，如果特困人员是因为个人心理疾病导致的自杀，而养老机构已经提供了必要的心理关注和帮助，但无法阻止自杀行为的发生，那么这种情况下养老机构通常不需要承担赔偿责任。

3. 具体案例与法律规定：

   • 在实际案例中，法院会根据具体情况进行综合判断，包括养老机构的过错程度、特困人员的自杀原因、双方之间的因果关系等。
   • 根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。因此，如果养老机构存在过错且该过错与特困人员的自杀行为之间存在因果关系，那么养老机构可能需要承担侵权责任。

建议：

• 对于特困人员的家属来说，如果认为养老机构存在过错并导致了特困人员的自杀，可以收集相关证据（如监控录像、证人证言、医疗记录等）并向法院提起诉讼，要求养老机构承担相应的赔偿责任。
• 对于养老机构来说，为了降低法律风险，应该加强安全管理、提供必要的心理关注和帮助、及时发现并制止自杀行为等，以尽到合理的安全保障义务。

后续行动：

• 如果你或你身边的人遇到了类似的情况，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议和帮助。