结论：警察冒充外卖员敲门抓嫖娼的行为，其合法性需根据具体情况判断，若警察在执行职务时严格遵守法定程序，则该行为合法；若未遵守法定程序或存在滥用职权等情形，则可能违法。以下从多个角度进行详细分析：

一、警察执行职务的合法性基础

1. 法定职权：

   • 警察作为执法机关，有权依法对涉嫌违法犯罪的行为进行调查和取证。在打击卖淫嫖娼等违法犯罪活动时，警察有权采取必要的侦查措施。

2. 法定程序：

   • 警察在执行职务时，必须严格遵守法定程序。这包括出示证件、表明身份、说明来意等。若警察在冒充外卖员敲门时，未出示证件或未表明身份，且未获得合法授权或未遵循法定程序，则其行为可能构成违法。

二、冒充外卖员敲门抓嫖娼的具体分析

1. 合法情形：

   • 若警察在执行职务时，已经获得了合法的搜查令或逮捕令，并且严格遵守了法定程序，如出示证件、表明身份等，那么冒充外卖员敲门可能只是作为一种侦查策略或手段，以更有效地接近嫌疑人或获取证据。在这种情况下，该行为是合法的。

2. 违法情形：

   • 未出示证件或未表明身份：若警察在冒充外卖员敲门时，未出示证件或未表明身份，且未获得合法授权或未遵循法定程序，则其行为可能构成非法侵入住宅或滥用职权等违法行为。
   • 滥用职权：若警察利用冒充外卖员的身份进行敲诈勒索、侵犯公民隐私等违法行为，则显然构成滥用职权，应依法追究法律责任。
   • 程序瑕疵：即使警察在冒充外卖员敲门时出示了证件或表明了身份，但如果整个侦查过程存在程序瑕疵，如未依法告知嫌疑人权利、未依法收集证据等，也可能影响行为的合法性。

三、法律后果与救济途径

1. 法律后果：

   • 若警察的行为被认定为违法，则可能面临行政处分、刑事责任等法律后果。同时，因警察违法行为给公民造成的损害，应依法承担赔偿责任。

2. 救济途径：

   • 若公民认为警察的行为违法，可以通过投诉、举报等方式向相关部门反映情况。同时，也可以依法向人民法院提起行政诉讼或国家赔偿诉讼，以维护自己的合法权益。

四、建议与提醒

1. 对于公民：

   • 在面对警察的侦查行为时，公民有权要求警察出示证件、表明身份，并了解自己的权利和义务。若对警察的行为有疑问或不满，可以及时向相关部门反映情况或寻求法律帮助。

2. 对于警察：

   • 警察在执行职务时，应严格遵守法定程序和职业道德规范，确保侦查行为的合法性和正当性。同时，也应加强自我约束和监督，防止滥用职权等违法行为的发生。

有问题可以直接向我咨询，我将结合你的具体情况，为你提供更详细的法律分析和建议。