结论：把对方打了过一个月追究刑事责任是否“有用”，取决于案件的具体情况，包括伤情鉴定结果、案件性质、证据收集情况以及是否存在自首、立功等情节。以下从多个角度进行详细分析：
一、伤情鉴定结果的影响
轻微伤：如果对方的伤情被鉴定为轻微伤，那么根据《治安管理处罚法》的规定，这通常属于治安案件，公安机关会依法给予行政处罚，如罚款、拘留等。在这种情况下，过一个月后追究刑事责任的可能性较小，因为轻微伤不构成刑事犯罪。
轻伤或重伤：如果对方的伤情被鉴定为轻伤或重伤，那么根据《刑法》的规定，这可能构成故意伤害罪。在这种情况下，即使过了一个月，只要公安机关掌握了足够的证据，仍然可以追究你的刑事责任。
二、案件性质与证据收集
案件性质：案件的性质，如是否属于故意伤害、寻衅滋事等，也会影响追究刑事责任的可能性。如果案件性质恶劣，如涉及多人斗殴、使用凶器等，那么即使过了一个月，公安机关也可能积极调查并追究刑事责任。
证据收集：证据的收集是追究刑事责任的关键。如果公安机关在案发后及时收集了足够的证据，如现场监控、证人证言、伤情鉴定报告等，那么即使过了一个月，仍然可以依据这些证据追究你的刑事责任。反之，如果证据不足或已经灭失，那么追究刑事责任的可能性就会降低。
三、自首、立功等情节的影响
自首：如果你在案发后主动向公安机关投案自首，并如实供述自己的罪行，那么根据《刑法》的规定，你可以获得从轻或减轻处罚的机会。这在一定程度上会影响追究刑事责任的结果。
立功：如果你在案发后有立功表现，如协助公安机关抓捕其他犯罪嫌疑人、提供重要线索等，那么根据《刑法》的规定，你也可以获得从轻或减轻处罚的机会。
四、法律程序与时间限制
追诉时效：根据《刑法》的规定，犯罪经过一定期限后不再追诉。但是，对于故意伤害罪等暴力犯罪，追诉时效通常较长，且如果公安机关已经立案侦查，那么追诉时效的计算会受到影响。因此，过一个月后追究刑事责任并不受追诉时效的限制。
法律程序：追究刑事责任需要遵循一定的法律程序，包括立案、侦查、起诉、审判等。这些程序需要一定的时间来完成，因此即使过了一个月，只要案件还在法律程序内，仍然可以追究刑事责任。
建议：
积极配合调查：如果公安机关已经立案侦查，建议你积极配合调查，如实供述自己的罪行，并主动提供相关证据或线索。
寻求法律帮助：如果你对案件的性质、证据收集、法律程序等方面存在疑问或担忧，建议你及时寻求专业的法律帮助。作为专注于取保候审、律师会见领域的专业律师，我可以为你提供全面的法律咨询和辩护服务。
关注案件进展：在案件处理过程中，建议你密切关注案件的进展情况，及时了解公安机关、检察机关和法院的处理意见和决定。
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