结论：如果当事人对第一次判决的赔偿结果觉得不公，通常不能直接另找部门进行判决，但可以通过上诉或申请再审等法律途径来寻求救济。

详细解释与建议：

1. 上诉途径：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对地方人民法院第一审判决不服的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。
   • 操作建议：如果当事人认为一审判决存在错误或不公，应在法定期限内准备上诉状，并提交给一审法院或直接向上一级法院提交。上诉状中应明确指出一审判决中的错误或不当之处，并提供相应的证据和法律依据。

2. 申请再审途径：

   • 法律依据：如果当事人错过了上诉期限，或者上诉后二审法院维持了原判，当事人仍然认为判决有误的，可以根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，在判决生效后六个月内向上一级人民法院申请再审。
   • 操作建议：申请再审时，当事人需要提交再审申请书，详细阐述再审的理由和依据，并提供新的证据或证明原判决存在法定再审情形的材料。再审申请的审查较为严格，当事人应确保提供的材料充分、有力。

3. 其他注意事项：

   • 时效性：无论是上诉还是申请再审，都需要注意法定的时效期限。错过时效期限将导致当事人失去相应的法律救济权利。
   • 证据准备：在寻求法律救济的过程中，证据的准备至关重要。当事人应尽可能收集、整理与案件相关的证据材料，以支持自己的主张。
   • 法律咨询：由于法律程序复杂且专业性强，建议当事人在寻求法律救济前咨询专业律师的意见。律师可以根据当事人的具体情况提供针对性的法律建议和指导。

后续行动建议：

• 如果当事人决定上诉或申请再审，建议尽快行动，以免错过法定的时效期限。
• 在准备上诉状或再审申请书时，务必确保内容准确、完整，并附上相应的证据材料。
• 如果对法律程序不熟悉或感到困惑，可以直接向我咨询，我会根据当事人的具体情况提供详细的法律指导和建议。