结论概述
刑事拘留后申请取保候审并没有严格的天数限制，是否可以申请以及何时能申请成功，主要取决于案件的具体情况、犯罪嫌疑人的个人表现及司法机关的审查和判断。不过，从实践角度来看，拘留后的前37天（公安机关提请检察院审查批准逮捕的期限）是申请取保候审的关键时期，若符合条件，此时申请获批的可能性较大。
取保候审的申请时机与阶段
- 侦查阶段：自犯罪嫌疑人被侦查机关第一次讯问或采取强制措施之日起，即有权申请取保候审。实践中，很多取保候审申请会在拘留后的前37天内提出，因为这一阶段是公安机关提请人民检察院审查批准逮捕的关键时期。若犯罪嫌疑人符合取保候审条件（如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或患有严重疾病等），此时申请获批的可能性较大。
- 审查起诉阶段：案件移送至人民检察院后，犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属或辩护人可向人民检察院提出取保候审申请。若案件事实、证据等发生变化，符合取保候审条件，检察院可作出相应决定。
- 审判阶段：在法院审理过程中，被告人同样有权申请取保候审。法院会根据被告人的身体状况、案件审理进度及可能判处的刑罚等因素，决定是否同意申请。
取保候审的法定条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条，以下情形可以申请取保候审：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑；
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性；
- 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性；
- 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取强制措施。
取保候审的审查与决定流程
- 申请主体：犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人有权提出取保候审申请。
- 申请材料：需提交书面申请书，并说明理由和拟采取的保证方式（如保证人或保证金）。
- 审查期限：办案机关将在收到申请后三日内进行审查，并根据案件具体情况和犯罪嫌疑人个人情况作出决定。若不同意，将告知申请人并说明理由。
取保候审的综合考量因素
取保候审的决定并非单纯基于拘留天数，而是综合考虑多种因素，包括：
- 犯罪性质与情节：如是否为初犯、偶犯，犯罪手段是否恶劣等；
- 悔罪表现：如是否认罪认罚、积极退赃退赔等；
- 社会危险性：如是否可能再次犯罪、是否会干扰证人作证等；
- 个人情况：如健康状况、家庭情况等。
实务建议
- 尽早申请：若符合取保候审条件，建议尽早向相关机关提出申请，以提高获批的可能性。
- 准备充分：申请时需提交完整的材料，包括犯罪嫌疑人的个人情况、案件情况、保证方式等，以证明其符合取保候审条件。
- 关注案件进展：在案件的不同阶段，如侦查、审查起诉、审判阶段，均可根据案件变化及时提出取保候审申请。
示例说明：
假设张三因涉嫌盗窃被刑事拘留，其家属在拘留后的第5天委托律师申请取保候审。律师经评估认为，张三系初犯，盗窃金额较小，且已积极退赃，符合取保候审条件。于是，律师向公安机关提交了书面申请书，并提供了张三的悔罪表现、健康状况等证明材料。公安机关在审查后认为张三不致发生社会危险性，遂批准了取保候审申请。
总结：
刑事拘留后申请取保候审并无固定天数限制，但关键在于是否符合法定条件及司法机关的审查判断。通过全面了解和准备相关法律知识及申请材料，并在专业律师的指导下进行操作，将有助于提高取保候审的成功率。若您或您的亲友面临此类问题，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律建议。