结论：当事人不服不予受理再审的判决，依法有权向人民检察院申请检察建议或者抗诉，但需满足特定条件并遵循相应程序。以下是对此问题的详细解答：
一、申请条件
根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百二十条的规定，当出现以下情形之一时，当事人可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉：
- 人民法院驳回再审申请的：即当事人向法院申请再审，但法院未予受理或驳回申请。
- 人民法院逾期未对再审申请作出裁定的：即法院在规定期限内未对再审申请作出任何裁定。
- 再审判决、裁定有明显错误的：这包括原判决、裁定认定事实的主要证据不足，适用法律确有错误，人民法院违反法定程序可能影响案件正确判决、裁定，以及审判人员存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为等情况。
特别说明：虽然您提到的是“不予受理再审”的情况，但通常这可以归类为法院对再审申请的一种处理方式（即驳回或未予受理），因此同样适用上述申请条件。若再审判决本身存在明显错误，也符合申请抗诉的条件。
二、申请流程
准备申请材料：
- 申请书：详细陈述对再审判决不服的理由和依据，包括事实认定错误、法律适用不当等具体内容。
- 相关证据材料：提供能够支持申请理由的证据，如新的证据、原判决中的错误之处等。
- 身份证明：申请人的身份证明文件，以证明其诉讼主体资格。
确定受理检察院：
- 应向作出生效判决法院的上一级人民检察院提出申请。例如，如果再审判决是由某市中级人民法院作出的，那么应向该省的人民检察院提出申请。
递交申请材料：
- 将准备好的申请书及相关证据材料递交给确定的检察院。可以亲自前往检察院递交，也可以通过邮寄等方式提交。
等待审查决定：
- 检察院会对申请进行审查，并根据审查结果作出是否提出检察建议或者抗诉的决定。审查过程通常需要三个月时间，期间检察院可能要求补充材料或进行调查核实。
三、注意事项
遵守法定期限：
- 虽然法律没有明确规定申请检察建议或抗诉的具体期限，但建议当事人在知道或应当知道再审判决之日起的合理时间内提出申请，以免因时间过长而影响申请的效力。
证据充分性：
- 抗诉程序非随意启动，当事人需提供充分证据证明再审判决存在明显错误，并符合申请检察建议或者抗诉的条件。
配合检察院工作：
- 在申请过程中，应积极配合检察院的工作，如实提供相关信息和材料，以便检察院能够更好地了解案件情况并作出准确的决定。
了解抗诉后果：
- 一旦检察院提出抗诉，案件将进入新的审判程序。当事人需要了解抗诉可能带来的后果，并做好相应的准备。例如，新的审判程序可能会更加严格和细致，当事人需要充分准备以应对可能的庭审辩论。
四、法律后果
- 启动再审：如果检察院提出抗诉或检察建议，人民法院应重新审理该案，全面审查事实、证据和法律适用情况，并作出新判决、裁定。
- 最终救济：抗诉通常是终审判决后的最后一道救济程序。如新的判决、裁定仍不服，当事人可考虑通过其他合法途径寻求救济，但需注意遵守法律规定和诉讼程序。
总结与建议：对再审案件不服提起抗诉是维护合法权益的重要途径，但需严格遵循法定程序和时限。在准备申请材料时，务必确保申请书内容详实、逻辑清晰，并附上关键证据。在申请过程中，积极配合检察院的工作，如实提供相关信息和材料。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。