结论：住院欠费补交后，出院结算是否退钱需根据实际费用情况确定，并非“一分钱不退”。以下从不同角度详细说明：

1. 费用结算的基本逻辑

住院费用结算遵循“多退少补”原则。若补交的820元恰好覆盖欠费（如之前预交金不足或未交清），且无其他未结费用（如药品、检查等），则结算时不会额外退款；但若补交后仍有结余（如实际欠费低于820元），医院应退还多余部分。

举例：

• 假设住院总费用为5000元，已预交4200元，欠费800元。补交820元后，实际欠费为800元，剩余20元应退还。
  
• 若总费用为5000元，已预交4180元，欠费820元。补交820元后，费用结清，无退款。

2. 可能涉及的其他费用

需注意以下情况可能导致结算时仍需支付或无法退款：

• 新增费用：住院期间可能产生额外费用（如特殊检查、药品等），若未包含在初始欠费中，需补交。
  
• 医保报销部分：若患者有医保，部分费用可能由医保直接结算，但需确认医院是否已实时结算。若未实时结算，可能需患者先垫付全部费用，后续再办理医保报销，此时结算时可能不会立即退款。
  
• 自费项目：若住院期间使用了自费药品或服务，且未提前告知或确认，可能需额外支付。

3. 法律背景与建议

• 法律依据：根据《民法典》合同编，医疗服务合同中，患者有义务支付合理费用，医院有义务提供明细并退还多余款项。
  
• 建议行动：
  
  1. 要求费用明细：结算时务必向医院索取详细费用清单，核对每一项收费是否合理。
     
  2. 确认医保结算：若有医保，确认医院是否已实时结算，避免后续麻烦。
     
  3. 保留凭证：保存所有缴费凭证和结算单，以备后续查询或争议解决。
     
  4. 协商或投诉：若医院拒绝退还多余款项或存在乱收费，可向当地卫健委或医疗纠纷调解委员会投诉。

4. 特殊情况处理

• 经济困难：若患者因经济困难无法一次性补交欠费，可与医院协商分期支付或申请医疗救助。
  
• 争议解决：若对费用有异议，可先与医院沟通，沟通无果可寻求法律途径（如起诉或申请仲裁）。

总结：住院欠费补交后是否退款，需根据实际费用和医保结算情况确定。建议结算时仔细核对费用明细，确保自身权益。如有疑问或需要进一步帮助，可直接向我咨询。