员工在请病假期间是可以提出急辞的，但具体能否被允许以及后续处理方式需根据实际情况和法律规定来判断。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、员工急辞的权利与限制
急辞的权利：员工在请病假期间，如果因个人原因或其他紧急情况需要立即辞职，理论上是有权提出急辞的。这是员工作为劳动者的一项基本权利，即自主选择职业的权利。
急辞的限制：然而，急辞并非无限制。员工在提出急辞时，应考虑到与用人单位的劳动合同约定以及相关法律法规的规定。特别是，如果员工在病假期间急辞，可能会给用人单位带来一定的困扰和损失，因此，员工在行使急辞权利时，应尽可能提前通知用人单位，并协商好离职的相关事宜。
二、用人单位的处理方式
一般情况下的处理：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工在病假期间，用人单位一般不得随意辞退员工。如果员工提出急辞，用人单位应首先与员工进行协商，了解急辞的原因和具体情况，并尽量达成一致意见。
特殊情况下的处理：如果员工在病假期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊等行为，或者被依法追究刑事责任等情形，用人单位可以依法解除劳动合同。但这种情况下，用人单位需要提供充分的证据来证明员工的过错行为，并遵循法定程序进行辞退。
三、急辞可能带来的法律后果
经济补偿与赔偿：如果员工在病假期间急辞，且用人单位没有过错，那么员工可能需要承担一定的经济责任。具体来说，如果员工急辞给用人单位造成了损失，用人单位有权要求员工进行赔偿。同时，如果员工急辞后，用人单位需要支付经济补偿的，应按照相关法律法规的规定进行支付。但需要注意的是，如果员工在医疗期内急辞，且用人单位没有过错，员工通常不需要支付违约金，但可能需要承担因急辞给用人单位造成的实际损失。
劳动关系解除：员工急辞后，与用人单位的劳动关系即行解除。双方应办理好离职手续，包括工作交接、工资结算、社保转移等事宜。
四、建议与注意事项
提前沟通：员工在提出急辞前，应尽可能提前与用人单位进行沟通，说明急辞的原因和具体情况，以便用人单位做好相应的安排和准备。
协商解决：双方应尽量通过协商的方式解决急辞可能带来的问题和纠纷，以维护双方的合法权益和劳动关系的和谐稳定。
遵守法律法规：无论是员工还是用人单位，在处理急辞问题时都应遵守相关法律法规的规定，确保处理方式的合法性和正当性。
举例说明：假设某员工因突发疾病需要长期治疗，向用人单位请了病假。在治疗期间，该员工因家庭原因需要立即辞职并返回老家。此时，该员工可以向用人单位提出急辞申请，并说明具体情况。用人单位在了解情况后，可以与员工进行协商，就离职时间、工资结算、社保转移等事宜达成一致意见。如果双方能够协商成功，那么该员工的急辞申请就可以得到允许。
总结来说，员工在请病假期间提出急辞是可以的，但具体能否被允许以及后续处理方式需根据实际情况和法律规定来判断。如果你在这方面还有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。