结论前置：同一家银行信用卡逾期后，储蓄卡是否会被扣款，主要取决于持卡人与银行之间的协议、银行的政策以及法律法规的规定。以下分情况详细说明：
一、会被扣款的情形
签订自动还款协议：
- 在办理信用卡时，如果持卡人与银行签订了自动还款协议，并明确同意在信用卡逾期等情况下，银行可以从其在本行的储蓄卡中划扣资金用于偿还信用卡欠款，那么一旦信用卡逾期，银行有权按照协议约定从储蓄卡中扣款。
- 举例：小李在某银行办理信用卡时，签署了自动还款协议。后来小李的信用卡逾期未还，银行便依据此约定从他同银行的储蓄卡中划扣了欠款。
银行行使抵销权：
- 根据相关法律规定和银行业务规则，当客户在同一家银行的信用卡出现逾期欠款，且其储蓄卡中有存款时，银行在符合一定条件和程序要求的情况下，可以依据抵销权直接扣划储蓄卡内的资金来偿还信用卡欠款。
- 条件：通常，银行会提前通知持卡人关于抵销权的行使，且债权债务关系明确、双方互负到期债务等。
- 举例：小张的信用卡逾期后，银行通知他若未在规定时间内还款，将行使抵销权从他的储蓄卡中扣款。小张未理会，银行随后从他的储蓄卡中扣划了相应金额。
银行发起扣划操作（逾期严重且未达成其他还款安排）：
- 若信用卡逾期情况严重，且经过银行多次催收仍未还款，依据相关法律法规、信用卡合同约定以及银行内部规定，银行有权采取强制扣划措施，从持卡人在该行的储蓄卡中扣划资金以偿还信用卡欠款。
- 举例：小王的信用卡逾期超过三个月，银行多次催收无果后，依据合同约定从他的储蓄卡中扣划了欠款。
二、不会被扣款的情形
未授权且无抵销权行使依据：
- 如果持卡人没有与银行签订自动还款协议，且银行不符合行使抵销权的法定条件或内部规定（如债权债务关系不明确、双方未互负到期债务等），银行则不能擅自扣划储蓄卡内的资金。
- 举例：小赵的信用卡逾期后，由于未与银行签订自动还款协议，且银行不符合行使抵销权的条件，因此银行未从他的储蓄卡中扣款。
储蓄卡存在使用限制：
- 如果储蓄卡因司法冻结、挂失、密码锁定等原因处于无法正常交易的状态，即便信用卡逾期，银行也无法从这张储蓄卡中扣款。
- 举例：小陈的储蓄卡因涉及诉讼被司法冻结，后来他的信用卡逾期，银行无法从这张冻结的储蓄卡中扣款。
三、建议与注意事项
了解协议内容：
- 持卡人应详细了解自己与银行签订的协议内容，特别是关于自动还款和抵销权的相关条款，以避免不必要的损失。
及时沟通协商：
- 如对银行的扣款行为存在疑问或认为其不合法，应及时与银行进行沟通协商，必要时可通过法律途径维护自己的合法权益。
确保按时还款：
- 为避免不必要的麻烦和损失，持卡人应尽量确保信用卡按时还款，避免逾期情况的发生。如遇还款困难，应及时与银行沟通协商解决方案。
关注信用记录：
- 信用卡逾期将直接影响个人信用记录，可能导致未来贷款、信用卡申请等金融活动受阻。因此，务必重视信用卡的按时还款问题。
总结：同一家银行信用卡逾期后储蓄卡是否会被扣款，需根据具体情况而定。持卡人应了解自己的权益和义务，并采取相应的措施以避免不必要的损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。