结论：债务到期后，债务人持续向银行还款的行为，确实会导致诉讼时效中断。以下是对此问题的详细分析：

一、诉讼时效中断的法律依据

根据《中华人民共和国民法典》第一百九十五条的规定，有下列情形之一的，诉讼时效中断，从中断、有关程序终结时起，诉讼时效期间重新计算：

1. 权利人向义务人提出履行请求；
2. 义务人同意履行义务；
3. 权利人提起诉讼或者申请仲裁；
4. 与提起诉讼或者申请仲裁具有同等效力的其他情形。

二、债务人持续向银行还款导致诉讼时效中断的具体分析

1. 债务人主动还款：

   • 当债务人主动向银行（债权人）偿还债务时，这实际上构成了对债务的承认和履行意愿的表达。
   • 根据法律规定，这种承认和履行意愿的表达会导致诉讼时效的中断。即使债务并未完全清偿，只要债务人有还款行为，就足以表明其承认债务并愿意履行。

2. 债务人部分还款：

   • 即使债务人只是部分偿还了债务，也足以表明其对剩余债务的承认和履行意愿。
   • 部分还款同样会导致诉讼时效的中断，因为这一行为符合“义务人同意履行义务”的情形。

3. 持续还款行为的影响：

   • 如果债务人持续向银行还款，那么每一次还款都可以视为一次诉讼时效的中断事件。
   • 这意味着，从最后一次还款之日起，诉讼时效期间将重新计算。因此，债务人的持续还款行为实际上是在不断延长债权人主张权利的时间窗口。

三、诉讼时效中断的法律后果

1. 诉讼时效期间重新计算：

   • 一旦发生诉讼时效中断的情形，原有的诉讼时效期间将不再继续计算。
   • 而是从中断之日起，重新开始计算诉讼时效期间。这为债权人提供了更长的时间来维护自己的权益。

2. 保护债权人的合法权益：

   • 诉讼时效中断制度旨在保护债权人的合法权益，防止因时间过长而导致证据灭失或债务人逃避债务。
   • 通过中断诉讼时效，债权人可以在更长的时间内通过法律途径追讨债务，从而增加了债权实现的可能性。

四、实际操作建议

1. 保留还款证据：

   • 作为债权人，应当妥善保留债务人还款的证据，如银行转账记录、收据等。
   • 这些证据在将来可能发生的法律纠纷中将成为证明诉讼时效中断的关键依据。

2. 及时主张权利：

   • 尽管诉讼时效可以中断并重新计算，但债权人仍应及时主张自己的权利。
   • 避免因为长时间拖延而导致证据灭失或债务人财务状况恶化等不利情况的发生。

3. 咨询专业律师：

   • 在处理复杂的债务纠纷时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
   • 作为专业律师，我可以根据具体情况为你提供更全面的法律分析和操作建议。

总结：债务到期后，债务人持续向银行还款的行为确实会导致诉讼时效中断。这一制度设计旨在保护债权人的合法权益，防止因时间过长而导致的不利后果。作为债权人，应当妥善保留还款证据并及时主张自己的权利。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。