市政府法律顾问的负责部门通常取决于具体的组织架构和地方规定，但一般来说，可能由市政府办公室、司法局或法制办等部门负责。以下是对此问题的详细分析：
市政府办公室：
- 在一些地方政府中，市政府办公室可能负责协调和管理市政府法律顾问的工作。这包括法律顾问的选聘、日常管理、工作安排以及与各部门的沟通协调等。市政府办公室作为市政府的综合办事机构，承担着为市政府领导提供决策支持和服务的重要职责，因此，在法律顾问的管理上也可能发挥重要作用。
司法局：
- 司法局是地方政府中负责司法行政工作的部门，包括律师管理、公证管理、法律援助等。在一些地方，司法局可能也负责市政府法律顾问的选聘和管理。这是因为司法局具有专业的法律知识和经验，能够更好地评估法律顾问的专业能力和服务质量，确保市政府法律顾问工作的有效开展。
法制办（或政府法律事务处）：
- 法制办是地方政府中负责法制工作的专门机构，负责政府规章的起草、审查、备案等工作，同时也可能负责市政府法律顾问的管理。法制办在政府决策过程中发挥着重要的法律审查作用，因此，在法律顾问的选聘和管理上也可能具有相应的职责和权力。
法律背景与建议：
法律背景：虽然具体的负责部门可能因地方而异，但市政府法律顾问的设立和管理通常都遵循一定的法律原则和程序。这包括法律顾问的选聘条件、程序、职责以及管理方式等，都可能由地方政府规章或规范性文件进行规定。
法律建议：如果您需要了解具体市政府法律顾问的负责部门，建议您首先查阅当地政府的相关规章或规范性文件，或者咨询当地政府的相关部门（如市政府办公室、司法局或法制办等）。同时，如果您作为市政府法律顾问的候选人或相关方，也建议您在参与选聘或合作过程中，仔细了解并遵守当地政府关于法律顾问管理的相关规定和程序。
可能的法律后果：
- 如果市政府法律顾问的负责部门不明确或管理不善，可能会导致法律顾问的工作无法有效开展，甚至可能引发法律纠纷或责任问题。因此，明确负责部门并加强管理是非常重要的。
如有更多关于市政府法律顾问或相关法律问题的疑问，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供进一步的法律分析和建议。