核心结论：遇到乘坐顺风车出单车事故司机不愿垫住院费的情况，您可以通过以下途径解决：

1. 与司机协商
   首先尝试与司机友好沟通，明确说明事故责任归属（若司机存在过错，如操作不当导致事故，其依法应承担部分或全部责任）。协商时注意保留聊天记录、通话录音等证据，为后续维权做准备。若司机认可责任但暂时无力垫付，可要求其签署书面承诺，明确还款时间及方式。

2. 联系保险公司
   若司机购买了车上人员责任险（乘客险），您可直接联系保险公司申请理赔。需提供事故认定书、医疗费用单据等材料，保险公司审核后会直接赔付。若司机未购买该险种，可要求其联系自己的交强险或商业险公司，部分险种可能覆盖乘客受伤的赔偿。

3. 通过平台介入
   若通过顺风车平台（如滴滴、嘀嗒等）约车，可立即联系平台客服，说明事故情况并要求协助处理。平台通常有安全保障机制，可能先行垫付医疗费用或协调司机赔偿，后续再由平台与司机追偿。需注意保留订单截图、事故现场照片等证据。

4. 向交警部门申请调解
   若事故已报警，可要求交警出具《交通事故责任认定书》，明确双方责任比例。随后可申请交警部门组织调解，督促司机履行赔偿义务。调解过程中可邀请保险公司、平台代表参与，提高解决效率。

5. 提起民事诉讼
   若上述途径均无效，您可向法院起诉司机及保险公司（如有），要求赔偿医疗费、误工费等损失。需准备事故认定书、医疗记录、费用清单等证据，并明确诉讼请求（如赔偿金额、支付方式等）。诉讼周期可能较长，但判决具有强制执行力。

补充建议：

• 优先治疗：无论司机是否垫付，务必先以治疗为重，保留所有医疗单据作为后续索赔依据。
  
• 法律援助：若经济困难，可向当地法律援助中心申请免费律师协助，或联系我进一步分析案情。
  

如有其他细节需补充（如事故责任认定、保险情况等），可直接向我说明，我会为您制定更具体的解决方案。