结论：逾期后第二张银行卡是否会自动扣费，需分情况讨论，主要取决于是否与逾期债务存在关联性及是否签署相关授权协议。具体分析如下：

1. 若第二张银行卡与逾期债务无关联，且未签署自动扣款协议
   银行或贷款机构无权直接从其他无关账户扣款。根据《商业银行法》第二十九条，银行需保护存款人隐私和资金安全，未经存款人书面授权，不得擅自扣划存款。例如，用户因A信用卡逾期，但B储蓄卡未绑定任何还款协议，此时B卡资金不会被自动划扣。

2. 若第二张银行卡与逾期债务存在关联（如绑定还款账户）
   若用户曾主动将第二张银行卡设置为还款账户（如通过网银、APP或书面协议授权），则逾期后机构有权从该卡扣款。例如，用户将B储蓄卡设为A信用卡的自动还款账户，逾期后机构可直接从B卡扣划欠款，但需提前通知用户（如短信提醒）。

3. 若第二张银行卡与逾期债务无直接关联，但属于同一银行账户体系
   部分银行可能通过内部协议实现跨账户扣款（如同一用户名下的A卡逾期，从B卡扣款），但需满足严格条件：

   • 用户曾签署《综合授权协议》或类似文件，允许银行在特定情况下划扣其他账户资金；
     
   • 扣款行为需符合《民法典》中关于“合理履行债务”的规定，且不得超出必要限度（如仅扣划欠款本金及合理利息，不得随意冻结全部资金）。

建议行动：

• 立即检查第二张银行卡是否与逾期债务存在关联（如绑定还款、签署授权协议）；
  
• 若发现未经授权的扣款，可要求银行提供扣款依据（如协议文本、通知记录），并通过银行客服或监管部门（如银保监会）投诉；
  
• 若涉及大额资金或复杂情况，建议整理账户流水、协议文件等证据，进一步向我咨询具体维权方案。
  

如有其他细节需要补充（如扣款金额、银行名称等），可随时告知，我会结合具体情形进一步分析。