结论：嫖娼被抓本身不会直接导致子女丧失担任村里支书的资格，但可能因道德评价、政审环节或具体地方规定等因素产生间接影响。以下从法律、政策及实践角度展开分析：

一、法律层面：无直接禁止性规定

根据《中华人民共和国村民委员会组织法》第十三条，村民委员会成员候选人需满足以下条件：

1. 年满十八周岁；
   
2. 本村户籍或在本村居住满一年；
   
3. 未被剥夺政治权利。
   法律未将“直系亲属有违法记录”列为禁止性条件，因此子女担任村支书在法律上无直接障碍。

二、政策与实践层面：可能存在间接影响

1. 道德评价与村民选举
   村支书选举需经村民民主投票，若子女因直系亲属嫖娼行为被村民认为“家风不正”或“道德瑕疵”，可能影响选民信任，导致选举失利。但此属于主观评价范畴，无统一标准。

2. 政审环节（如涉及公职或荣誉）
   若子女同时是党员或拟参选更高级别公职（如乡镇干部），政审中可能对直系亲属的违法记录进行审查。但村支书选举通常不涉及严格政审，除非地方有特殊规定。

3. 地方性规定或村规民约
   部分地区可能通过地方性法规或村规民约对候选人亲属行为提出额外要求（如“无严重违法记录家庭”）。此类规定需符合上位法，且需经合法程序制定，否则无效。

三、建议与注意事项

1. 核实地方规定：建议子女咨询当地乡镇政府或民政部门，确认是否存在针对亲属违法记录的特殊限制。
   
2. 主动说明情况：若选举中涉及争议，可主动向村民说明嫖娼行为的性质（属行政违法，非刑事犯罪），减少误解。
   
3. 关注后续影响：若子女本人有违法记录（如参与嫖娼），则直接丧失选举资格；若仅为亲属行为，则需以法律和地方政策为准。

总结：法律未禁止直系亲属有违法记录者担任村支书，但实际选举中可能因道德评价或地方规定产生间接影响。建议结合具体情况，咨询当地部门并积极沟通。如有其他法律问题，欢迎随时向我提问。