检察院提起抗诉的法定事由主要规定在《中华人民共和国刑事诉讼法》和《中华人民共和国民事诉讼法》中。以下是具体的法条依据和解释：

一、刑事诉讼中的抗诉事由

在刑事诉讼中，检察院提起抗诉的法定事由主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百二十八条：“地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。”这里的“确有错误”通常包括但不限于以下情形：

1. 事实认定错误：如证据不足、事实不清、证据之间存在矛盾等，导致判决或裁定与事实不符。
2. 法律适用错误：如对法律条文的理解有误、适用法律不当等，导致判决或裁定在法律上存在错误。
3. 程序违法：如审判过程中存在违反法定程序的行为，如未依法保障被告人的诉讼权利等，可能影响判决或裁定的公正性。

二、民事诉讼中的抗诉事由

在民事诉讼中，检察院提起抗诉的法定事由则主要依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十五条：“最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第二百零七条规定情形之一的，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，应当提出抗诉。”而《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条则详细列举了检察院可以提出抗诉的具体情形，包括但不限于：

1. 有新的证据，足以推翻原判决、裁定的：即当事人在判决、裁定生效后发现了新的证据，且该证据足以改变原判决、裁定的结果。
2. 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的：即原判决、裁定所依据的主要事实没有足够的证据支持。
3. 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的：即原判决、裁定所依据的主要证据是虚假的或伪造的。
4. 原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的：即原判决、裁定所依据的主要证据在审判过程中未经双方当事人质证。
5. 对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的：即当事人因客观原因无法自行收集关键证据，且已向法院提出申请，但法院未进行调查收集。
6. 原判决、裁定适用法律确有错误的：即原判决、裁定在法律适用上存在错误。
7. 审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的：即审判过程中存在审判组织组成不合法或审判人员应当回避而未回避的情形。
8. 无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的：即无诉讼行为能力人未由法定代理人代为诉讼，或应当参加诉讼的当事人因非自身原因未参加诉讼。
9. 违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的：即审判过程中存在剥夺当事人辩论权利的情形。
10. 未经传票传唤，缺席判决的：即法院在未依法传唤当事人的情况下进行了缺席判决。
11. 原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的：即原判决、裁定未对当事人的诉讼请求进行全面审理或超出了当事人的诉讼请求范围。
12. 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的：即原判决、裁定所依据的法律文书已被撤销或变更。
13. 审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的：即审判人员在审理案件过程中存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等违法行为。

此外，如果调解书损害国家利益、社会公共利益的，检察院也应当提出抗诉。

在实际操作中，检察院会根据具体案件情况，结合上述法条，判断是否符合提起抗诉的条件。如果你对检察院提起抗诉的具体事由或相关法律程序有进一步疑问，可以直接向我咨询。