若醉驾被法院判处一个月拘役而拒不执行，后续被抓获确实可能面临加刑的后果。以下从多个角度对此问题进行分析：
一、法律后果分析
拒不执行判决、裁定的法律后果：
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
- 在醉驾案件中，若被判处拘役一个月而拒不执行，且情节严重（如多次逃避执行、有妨碍执行行为等），则可能构成拒不执行判决、裁定罪，从而面临加刑的后果。
逃避执行的具体情形：
- 逃避执行可能包括隐藏、转移财产，或者以暴力、威胁方法妨碍、抗拒执行等行为。
- 在醉驾案件中，若被执行人通过藏匿、外出躲避等方式逃避拘役的执行，且情节严重，同样可能构成拒不执行判决、裁定罪。
二、实际执行中的考量
执行程序的启动：
- 若被执行人拒不执行拘役判决，法院通常会先发出执行通知，要求被执行人在指定期限内履行义务。
- 若被执行人仍不履行，法院可能会采取强制措施，如拘留、罚款等，并可能将案件移送公安机关立案侦查，追究其拒不执行判决、裁定罪的刑事责任。
加刑的可能性与幅度：
- 加刑的可能性取决于被执行人的逃避执行行为是否构成拒不执行判决、裁定罪，以及情节的严重程度。
- 若构成犯罪，加刑的幅度将根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定进行确定，可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者罚金，甚至三年以上七年以下有期徒刑的刑罚。
三、建议与提醒
遵守法律判决：
- 被判处拘役的被告人应严格遵守法律判决，按时到指定地点接受拘役执行。
- 逃避执行不仅无法摆脱法律责任，反而可能面临更严重的法律后果。
积极配合执行：
- 若因特殊原因无法按时执行拘役，应提前向法院申请延期执行或采取其他合法措施。
- 积极配合法院的执行工作，如实提供财产状况、行踪等信息，有助于减少不必要的法律纠纷和后果。
寻求法律帮助：
- 若对拘役判决或执行程序有疑问或异议，应及时向专业律师咨询并寻求法律帮助。
- 律师可以提供专业的法律意见和辩护服务，帮助被告人维护自身合法权益。
总结来说，醉驾被法院判处一个月拘役而拒不执行，后续被抓获确实可能面临加刑的后果。这主要取决于逃避执行行为是否构成拒不执行判决、裁定罪以及情节的严重程度。因此，建议被判处拘役的被告人严格遵守法律判决，积极配合执行工作，并在有疑问或异议时及时寻求法律帮助。